齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

1/9线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)=rn,若AX=0（A为mn矩阵）的一组解为,,,nr12ξξξ,且满足：(1),,,nr12ξξξ线性无关;(2)AX=0的)任一解都可由这组解线性表示.则称,,,nr12ξξξ为AX=0的基础解系.称nrnrkkk1122Xξξξ为AX=0的通解。其中k1,k2,…,kn-r为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（A为mn矩阵）满足()rAn，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是()rAn.（注：当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()nrA.2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO所对应的同解方程组。由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：（1）当mn时，()rAmn，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A；（3）当mn且()rAn时，若系数矩阵的行列式0A，则齐次线性方程组只有零解；（4）当mn时，若()rAn，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()rAn，则齐次线性方程组无解。1、求AX=0（A为mn矩阵）通解的三步骤（1）AC行（行最简形）;写出同解方程组CX=0.(2)求出CX=0的基础解系,,,nr12ξξξ;(3)写出通解nrnrkkk1122Xξξξ其中k1,k2,…,kn-r为任意常数.2/9【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.xxxxxxxxxxxxxxxx解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A显然有()4rAn，则方程组仅有零解，即12340xxxx.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即mn）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即mn），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：23153121327041361247A，知方程组仅有零解，即12340xxxx.注：此法仅对n较小时方便【例题2】解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A1412(5)(3)rrrr111110122601226012262123242(1)(1)rrrrrrr10115012260000000000可得()2rAn，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.xxxxxxxx（其中3x，4x，5x为自由未知量）令31x，40x，50x，得121,2xx；令30x，41x，50x，得121,2xx；令30x，40x，51x，得125,6xx，于是得到原方程组的一个基础解系为3/9112100，212010，356001.所以，原方程组的通解为112233Xkkk（1k，2k，3kR）.二、非齐次线性方程组的解法求AX=b的解（,()mnrrAA）用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关1112111222221()00rnrnrrrnrrccccdcccdccddAb行其中0(1,2,,),iicir所以知1(1)0rd时,原方程组无解.1(2)0,rdrn时,原方程组有唯一解.1(3)0,rdrn时,原方程组有无穷多解.其通解为01122nrnrkkkXξξξ，12,,,nrkkk为任意常数。其中：12,,,nrξξξ为AX=b导出组AX=0的基础解系，0为AX=b的特解，【定理1】如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。【定理2】如果0是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则0是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：rnrnCCC22110其中：0是非齐次线性方程组的一个特解，rn,,,21是导出组的一个基础解系。【例题3】判断下列命题是否正确,A为mn矩阵.(1)若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解.答:错,因r(A)=n,r(A)=n=r(A|b)?(2)若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解.答:错,因r(A)n,r(A)=r(A|b)?(3)若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解.答:对,r(A)=r(A|b)=n.4/9(4)若AX=0有非零解,则ATX=0也有非零解.答:错,A为mn,r(A)=mn,r(AT)=m,这时ATX=0只有零解.例如A为34,R(A)=34,r(AT)=3=m.(5)若r(A)=r=m,则AX=b必有解.答:对,r(A)=r=m=r(A|b).(6)若r(A)=r=n,则AX=b必有唯一解.答:错,A为mn,当mn时,可以r(A|b)=n+1.⑴唯一解：()()rArAn线性方程组有唯一解【例题4】解线性方程组12312312321,224,442.xxxxxxxxx解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346rrrrAAB))332311(224(3rrrrr21()3100110010306010200100010r可见()()3rArA，则方程组有唯一解，所以方程组的解为1231,2,0.xxx⑵无解：()()rArA线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100rd，则原方程组无解）【例题5】解线性方程组12312312321,22,24.xxxxxxxxx解：1212132(1)21111212()1212033311240336rrrrrrAAB23rr121203330003，可见()3()2rArA，所以原方程组无解.⑶无穷多解：()()rArAn线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组123412413423,231,22104.xxxxxxxxxx解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410rrrrAAB5/92321221(1)101520127500000rrrrr可见()()24rArA，则方程组有无穷多解，其同解方程组为13423425,527.xxxxxx（其中3x,4x为自由未知量）令340,0,xx得原方程组的一个特解2500.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.xxxxxx（其中3x,4x为自由未知量）令31x，40x，得121,2xx；令30x，41x，得125,7xx，于是得到导出组的一个基础解系为11210，25701。所以，原方程组的通解为1122Xkk（1k，2kR）.【例题7】求线性方程组：12341234123421,22,23.xxxxxxxxxxxx的全部解.解：21111()1211211213AAB121213(2)(1)rrrrrr12112033330112123rr12112011210333323212(3)(2)(1)rrrrr10334011210063633331()3123()212rrrr310012301002100112可见()()34rArA，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为6/914243431,23,211.2xxxxxx（其中4x为自由未知量）令40x，可得原方程组的一个特解1010.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2xxxxxx（其中4x为自由未知量）令42x（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1xxx，于是得到导出组的一个基础解系为3312.所以，原方程组的通解为Xk（kR）.【例题8】求非齐次线性方程组55493123236232335432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx的全部解。解：421500421500421500312331515493111231203162312331A000000000000421500312331因为52)()(ArAr，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为542,,xxx，原方程组与方程组425323354354321xxxxxxxx同解取自由未知量542,,xxx为000，得原方程组的一个特解：T0,0,54,0,5307/9再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组025023354354321xxxxxxxx同解对自由未知量542,,xxx分别取100,010,001，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：100,010,0001352513515