计算物理习题

第一章绪论1.什么是计算物理？计算物理与计算数学有何不同？答：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”，计算数学则是解决物理问题的理论基础。2.试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。答：优点：1.省时省钱2.具有更大的自由度和灵活性3.能够模拟极端条件下的实验缺点：1、不能获得物理定律和理论公式2、计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证3.试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理在物理学研究中主要用于什么方面？答：计算物理在物理学研究中主要用于模拟实验并提供数据，用于验证理论方程还可以与实验结果对照或作为实验的参考数据。4.利用计算物理解决问题时，不同计算方法的选取会有什么影响？数值计算的误差包括哪些方面？在计算中如何减小误差？答：不同的方法选取会影响到计算的时间长短和计算结果的正确性。数值计算的误差包括：模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。减小误差的方式有：1.两个相近的近似数相减时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免；2.保护重要的物理参量；3.注意计算步骤的简化，减少算术运算的次数。5.计算物理有哪些工作步骤？答：1.物理机理，2.数学提法，3.离散模型，4.算法程序，5.上机计算，6.结果分析。6.离散化与逼近的含义是什么？收敛性与稳定性的含义。答：离散化是为了能让计算机处理数据所做的必要步骤，逼近则是为了让结果尽量接近真值的方式。收敛性是指通过数值计算得到的近似解是否逼近数学模型的的真解这样一个性质，稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。第二章随机数和蒙特卡洛方法1.随机数列的类型和产生方法？任意分布的伪随机变量的抽样方法有哪些?答：随机数的类型有真随机数、准随机数、伪随机数，产生方法有：物理方法和数学方法。伪随机变量的抽样方法有：直接抽样法（反函数法）、变换抽样法、舍选抽样法、复合抽样法、特殊抽样法。2.采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取a=5，c=1，m=16和x0=1记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？答：6、31、156、781、3906、19531、97655、3.简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。答：针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量N→∞的统计实验方法或计算机随机模拟方法。4.蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯·诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？答：平方去中法：Xn+1=[Xn2/2r](mod22r)ξn=Xn/22r线性同余法：Xi+1=a·Xi+c(modM)ξi+1=Xi+1/M伪随机数的统计检验：独立性检验和均匀性检验。5.蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？1.分层抽样，2.重要抽样法，3.控制变量法，4.对偶变量法。6.若用蒙特卡罗算法计算定积分dxx102，请给出其求解原理与计算步骤。答：由于题目中的积分为一维标准积分，故直接使用一维积分掷点法，定义在正方形内投掷N个点，在落在曲线f(x)下的有M个，则I≈M/N。7.简要叙述变分蒙特卡洛方法求解基态本征能量E0和基态本征态波函数x理，并以一维情况为例说明蒙特卡洛计算步骤。答：见PPT第二章蒙特卡洛变分量子方法。第三四章有限差分和有限元数值求解1.有限差分和有限元方法的基本思想是什么？比较有限差分和有限元方法。答：基本思想：1.有限元法：基于变分原理，既通过求解一个泛函取极小值的变分问题；2.有限差分法：以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。二者都是数值求解微分方程的方法，有限元法比有限差分法的矩形网格划分方法在布局上更为合理，在处理复杂区域和复杂边界条件时更方便和适当，采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持,计算精度和收敛性进一步得到保证，但是并不是所有有限差分法可以处理的问题都能够用有限元法处理，即有限元法有一定的局限性。2.写出五点差分法的公式？答：见PPT第三章的矩形区域的泊松方程。3.简述有限元方法的一般步骤。答：首先，推导出与给定边界条件的偏微分方程等价的泛函表示；第二，把求解的区域用三角形元素划分为小的单元。然后对每个节点和三角形元素按照约定的规则分别进行编号。第三，利用公式(5.2.14-15)和(5.2.18-21)，计算出各个三角形元素的系数矩阵(K)e和(P)e。第四，将各个三角形单元的系数矩阵(K)e和(P)e装配成总矩阵(K)和(P)，形成有限元方程组，然后利用强加边界条件法对有限元方程组进行修正。最后，利用超松弛迭代法求解有限元方程组，则得到域内各个节点上的函数ϕ值。4.分子运动方程常用的求解方法有哪些？答：欧拉法、龙格-库塔法、辛普生法等。5.设有初值问题写出显式和隐式Euler求解公式。答：自己看着办...6.设有初值问题写出预估-矫正Euler法的求解公式。答：同上。第五章经典分子动力学方法1.分子动力学模拟的时间步长如何选择？答：时间步长h太长会造成分子间激烈碰撞，体系数据溢出；为了减小误差，步长h必须取得小一些；但是取得太小，系统模拟的弛豫时间就很长，太短的时间步长还会降低模拟过程搜索相空间的能力。因此一般选取的时间步长为体系各个自由度中最短运动周期的十分之一。这里需要积累一定的模拟经验，选择适当的时间步长h。2.Verlet算法中分子动力学计算的简单步骤是什么？答：见PPT第五章微正则综系的分子动力学模拟。3.简述分子动力学模拟步骤。答：设定模拟所采用的模型、给定初始条件、趋于平衡的计算过程、宏观物理量的计算。4.请写出子动力学模拟时实现周期性边界条件的具体操作，在考虑粒子间的相互作用时，通常采用的最小像力约定是什么？采用最小像力约定会使得在截断处粒子的受力有一个δ-函数的奇异性，这会给模拟计算带来误差。怎样减少这种误差？如何判断一个体系通过模拟之后达到了一种平衡态的稳定结构？答：这题目太复杂，容我之后解决...5.什么是分子势函数，写出常用L-J势和Morse势的解析形式，并指出各项的含义.L-J势和Morse势的适用范围和局限性答：见PPT第五章的英文部分...6.EAM模型是一种半经验多体势模型，其中心思想是什么？答：中心思想是原子嵌入能概念，即原子的凝聚能主要取决于该原子所占据位置的局域电子密度。7.什么是系综？分子动力学模拟常用的系综有哪些？系综调节有哪些技术?（可能出填空题）答：系综(ensemble)是指在一定的宏观条件下(约束条件)，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合，全称为统计系综。常用的系宗有：正则系综、微正则系综、等温等压、等压等焓、巨正则系综。系综调节有调温技术和调压技术。第六章第一原理方法1.简述绝热近似的基本内容。答：见PPT第一性原理与密度泛函理论第八页。2.什么是单电子近似？答：见PPT第一性原理与密度泛函理论第七页。3.简述局域密度近似的基本内容。答：见PPT第一性原理与密度泛函理论第39页及之后的部分和第六章相关部分。4.什么是基组，什么是赝势？为什么要引入赝势？答：见PPT第一性原理与密度泛函理论第47页及以后的部分。5.简述Kohn-Sham方法的特点。如何用Kohn-Sham方程求解多电子体系的基态密度函数。答：见PPT第一性原理与密度泛函理论第31和32页以及第六章相关部分。6.密度泛函理论的基本思想及基本定理。答：见PPT第一性原理与密度泛函理论第15页及之后的部分和第六章相关部分。7.你是怎样理解第一性原理中的自洽计算的这一过程的，讨论一下其整个的流程图？答：流程图在PPT第六章32页。8.电子相关效应有哪些？答：PPT第六章36页及之后部分。9.简述几种常用的交换关联函数答：根本用不上...10.试论述第一性原理的发展近况和在新材料设计中应用。答：此事与我无关...专题1.并行计算有什么优点？2.怎样搭建机群系统？3.试简要论述多尺度计算物理的基本框架。4.试论述各个尺度计算方法的特点和局限性。5.试说明各种尺度计算方法的适用范围及它们之间的连接。6.晶体硅的晶胞结构中，有几个不等价的原子，分别处于哪些位置？7.为什么要对体系进行弛豫？如何对体系进行弛豫？上机实践：1.用Buffon投针法在计算机上计算π值，取a=4、l=3。2.分别用理论计算和计算机模拟计算，求连续掷两颗骰子，点数之和大于6且第一次掷出的点数大于第二次掷出点数的概率。3.采用MC方法计算变积分限的多重积分，写出求解的步骤并编程。