自动控制系统的时域分析.

1第三章控制系统的时域分析稳定性分析劳斯判据动态性能分析动态性能指标一阶系统的时域响应二阶系统的时域响应高阶系统的时域响应稳态误差分析平衡点（平衡状态）的稳定性稳定性与劳斯判据首先看两个例子：1.单摆稳定性针对平衡点而言。平衡点“a”——稳定的平衡点；平衡点“d”——不稳定的平衡点；2平衡点（平衡状态）的稳定性2.运动小球平衡点“a”：当小球的起始偏差不超出区域b、c,为稳定平衡点；当小球的起始偏差超出区域b、c,为不稳定平衡点；稳定性与劳斯判据平衡点的稳定性可以在不同范围。3若一个系统处于某一起始时刻的平衡状态（点），在外作用影响下，离开了平衡状态。当外作用消失后，若经过足够长的时间系统能够重新回复到原始平衡状态，则称系统是稳定的；否则称系统是不稳定的。若系统输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。稳定性的一般定义：稳定性表征了系统由初始偏差状态回复平衡状态的性能。线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件（外界输入、初始条件）无关。稳定性与劳斯判据4()(1)1100nnnnacacacaclim()0tct对于初始平衡点在原点的单输入单输出系统，系统可以由如下齐次微分方程式描述：设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想的单位脉冲信号，这时系统的输出（脉冲响应）若满足即输出收敛于原平衡状态，则称线性系统是稳定的。()ct线性系统稳定性的数学定义：稳定性与劳斯判据5()(1)1100nnnnacacacac设上式有k个实根pi(i＝1，2，…，k)，r对共扼复数根(σj±jωj)，(i=1，2，…r)，且k+2r=n，则经过Laplace反变换可得齐次方程的解的一般式为：11()(cossin)jikrtptijjjjijctCeeAtBt11100nnnnasasasa线性系统稳定性的充分必要条件Laplace变换稳定性与劳斯判据闭环系统特征方程6若所有pi＜0，σj＜0（即都是负数），则满足，系统最终能恢复至平衡状态，所以是稳定的;若pi或σj中有一个或一个以上是正数，则不满足，t→∞时偏差越来越大，系统是不稳定的;线性系统稳定的充分必要条件是：11()(cossin)jikrtptijjjjijctCeeAtBtlim()0tctlim()0tct闭环系统特征方程的根（系统的闭环极点）均为负实数或具有负的实部的共轭复数。也就是它的所有极点均在S平面虚轴的左半部。稳定性与劳斯判据7稳定性与劳斯判据11()()0GsHs1()Gs()Hs()Cs()Rs特征方程为：43223450ssss方法一：借助于计算机：matlab:s=roots([12345])问题:既然可以直接求解，为何还要劳斯判据？例：方法二：劳斯判据8稳定性与劳斯判据劳斯判据：1877年提出计算机：世界上第一台电子计算机命名为“埃尼阿克”，是1946年美国宾夕法尼亚大学埃克特等人研制成功的判据的作用虽然减弱，但其化繁由简的思路却值得学习和借鉴9已知系统的闭环特征方程为：01110nnnnasasasa系统稳定的必要条件是：特征方程各项系数为正，且不缺项。注：如果同时为负，左右同乘以-1。))()((jsjss0,322222(2)(2)0()sss展开后可以得到方程的系数全部为正，因此有上面结论。证明：设想方程全部为负实根或实部为负的共轭复数，则一定可以分解成下面一些因式的乘积稳定性与劳斯判据劳斯（Routh）稳定性判据103232432432563505650228320228320sssssssssssss一项为负，不稳定满足必要条件，可能稳定缺项，不稳定例：判断具有下面特征方程的系统的稳定性。稳定性与劳斯判据满足必要条件，可能稳定对于可能稳定的系统，如何进一步判断系统的稳定性？11稳定性与劳斯判据若闭环系统的特征方程是1100nnnnasasa每一行都需计算到其余项均为0。按特征方程的系数构建劳斯表：1230nnnnsssss642nnnnaaaa7531nnnnaaaa2311nnnnnaaaaa4511nnnnnaaaaa6711nnnnnaaaaa劳斯表：计算到行0s12稳定性与劳斯判据特征方程具有正实部根的个数等于劳斯表第一列中系数改变符号的次数。Routh判据：系统稳定的充要条件是特征方程的全部系数都是正数，并且劳斯表中第一列元素都是正数。1307156435223456ssssss65236754150ss01234sssss5754235053030750354-107/27-18070稳定性与劳斯判据例：已知系统的闭环特征方程如下，试判断系统的稳定性。14特殊情况1：劳斯表中某一行的第一个系数为0，其余各系数不为0或没有其余项。此时，用一个无穷小正数ε代替，并继续计算下去。如果ε上下元素均为正数，表示有一对纯虚根存在，系统处于临界稳定。稳定性与劳斯判据15例：已知系统的开环传递函数如下，试判断系统的稳定性。32)()(2342sssssssHsGS4125S3120S2S1S005\(ε)52-5/ε00)()(1sHsG0522234ssss【解】得到闭环系统的特征方程为由稳定性与劳斯判据故系统不稳定，且有两个不稳定的根。2-5/ε016特殊情况2：劳斯表中某一行全为零(设为第k行，k一般情况下为奇数)，则说明有一对关于原点对称的根。显然，系统是不稳定的。此时1.利用第k行的上一行构成辅助多项式。2.求辅助多项式关于s的导数，并将其系数作为第k行的值。然后继续计算劳斯表。3.关于原点对称的根可以从辅助多项式解出，令辅助多项式等于0，求解方程即得。4.如果第一列中零行的上下同号说明有一对纯虚根。稳定性与劳斯判据1705025482422345sssss5048224ss0元素上下同号说明有一对纯虚根。可以从辅助多项式构成的方程42248500ss解得：1，－1，5j，-5j24-50112.70-50稳定性与劳斯判据例：已知系统的闭环传递函数如下，试判断系统的稳定性。00124-2554320ssssss248-50求导ss9683\8\9618190312012301223301201220101,0,,,,00,,,00,0,0aaaaaaaaasasasaaaaasasaaaasa且劳斯判据小结用Routh判据来分析1、2、3阶系统可得判断1、2、3阶系统稳定的充要条件分别如下：劳斯判据主要用来判断线性定常系统的稳定性。20应用1稳定裕度的检验◆用劳斯判据检验系统的相对稳定性的方法是：1、令s=z-σ，则相当于将s平面左移了σ，得到以z为变量的新的特征方程，2、对该特征方程应用劳斯判据，判断可知新的特征方程有几个特征根位于新的虚轴的右边。3、如果所有特征根位于新的虚轴的左边，则说明系统具有稳定裕量σ。[s][z]0011asasannnn0011azazannnn21应用1例检验特征方程有几个根在直线s=-1的右边。041310223sss【解】令s=z-1，则041131101223zzz014223zzz则新的劳斯阵列表为z32-1z24-1z1-1/2z0-1第一列变号一次，说明有一个根在直线s=-1的右边。稳定裕度不到1。22应用2参数影响的检验例+－)sT)(sT(sk1121◆应用劳斯判据判断使系统稳定的参数变化范围。已知系统结构图，判断使系统稳定的参数范围。如何判断使系统具有一定稳定裕度的参数范围？【解】闭环特征方程0)(221321kssTTsTTS3T1T21S2T1+T2kS1S0212121)(TTTkTTT02121kTkTTT要稳定，需使01121kTT即k023应用2例设一个系统开环传递函数如下，试找出使系统稳定的k的范围。)12)(1()131()(ssssksG0)311(3223kskss0)(1sG【解】由0)131()12)(1(sksss根据三阶系统稳定的条件，kkk2)311(3030k得闭环特征方程为24应用2例0,)12)(1()1()(kssssksG设一个系统开环传递函数如下，试找出使系统稳定的参数的范围。0)1(3223kskss【解】闭环特征方程为kk2)1(3则k132即25动态性能分析◆动态过程(瞬态响应、动态响应)：从输入信号作用在系统的时刻开始，到系统输出达到稳定状态为止，系统输出随时间变化的过程称为动态过程。◆分析系统的动态性能的方法：解析法(直接求解法)——得到系统输出c(t)表达式。间接评价法——通过与系统的结构、参数有联系的性能指标来评价系统的品质，受到广泛使用。计算机仿真法——可对复杂的、高阶的、多变量的系统求解c(t)，直接得到各种指标。◆动态性能分析通常考虑在某些典型输入信号作用下系统的输出响应。26典型输入信号脉冲函数ttAtr11lim)(0A/ε0tf(t)ε1)(sR1)(,0,0,0)()(dttttttrA=1时理想情况下，为单位脉冲函数，其拉氏变换为阶跃函数0,0,0)(tAttrtf(t)A当A=1时为单位阶跃函数，记为1(t)其拉氏变换为ssR1)(27典型输入信号t11f(t)斜坡函数(等速度信号)0,0,0)(tAtttr21)(ssR当A=1时为单位斜坡函数，其拉氏变换为抛物线函数(加速度函数)0,0,0)(2tAtttr221)(ttr31)(ssR当A=1/2时为单位加速度函数，记为其拉氏变换为tf(t)正弦函数tAtrsin)(其拉氏变换为22)(sAsR28典型输入信号名称时域表达式频域表达式•单位脉冲函数δ(t)，t＝01•单位阶跃函数1(t)，t≥01/s•单位斜坡函数t,t≥01/s2•单位加速度函数t2/2,t≥01/s3•正弦函数Asinωt,t≥0Aω/(s2+ω2)关系：单位斜坡函数是单位加速度函数的导数，单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数，单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数.29◆瞬态响应◆稳态响应σp%最大超调量%100)()(cctcppc(t)t12%trtpts0.5td◆线性系统时域阶跃响应性能指标包括：峰值时间tp:响应曲线到达第一个峰值所需要的时间。延迟时间td：响应曲线从0上升到稳态值的50%所需要的时间。动态性能指标30调整时间(调节时间)ts：响应曲线从0开始到进入稳态值的95%~105%(或98%~102%)误差带时所需要的时间。衰减比：第一个峰值与第二个峰值之比。c(t)t12%σp%trtpts0.5td上升时间tr：对于有振荡的系统，响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。对于无振荡的系统则取响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间。振荡次数：穿过稳态值次数的一半。动态性能指标31RCR(t)C(t)i(t)T为时间常数。1/TsR(s)C(s)11)()()(TssRsCs传递函数可用一阶微分方程描述其动态过程的系统称为一阶系统。一阶系统的时域响应32一阶系统的单位阶跃响应),(1)(ttr一阶系统的单位阶跃响应为一条初始值为0，以指数规律上升到终值的曲线。当t=T时，c(t)=1-e-1=0.6