线偏振模的理解

1LP模是D.Glogy在1971年提出来的光纤中传输模式的近似解。前面已经证明，在弱导近似下，远离截止时，EHv-1,m模和HEv+1,m模具有相同的特征方程和传输常数。由教材上图2-20可以看出，即便不满足远离截止的条件，EHv-1,m模和HEv+1,m的传输常数也是接近的。因此，对于弱导光纤，有可能通过解的线性组合使问题得到简化。LP模的基本出发点是：不考虑TE，TM，EH，HE模的具体区别，仅仅注意它们的传输常数，并用LP模把所有弱导近似下传输常数相等的模式概括起来。1.线偏振模场解及特征方程在直角坐标系中，总可以将横向电场表示为：yxxtEeEeE如果横向电场的取向不变，则总可以选取适当的坐标，使得电场强度只有一个分量，例如：yytEeE场量yE满足标量亥姆霍兹方程，即：022yyEkE(1)将公式(1)在圆柱坐标系中展开，采用教科书中的方法可以得到纤芯和包层中的场解分别为：zjmmyemraUJUJAEcos)()(1ar(2a)zjmmyemraWKWKAEcos)()(2ar(2b),,WU三者之间的关系仍由教科书上的公式(2-72a)和公式(2-72b)确定。由于磁场强度与电场强度相互垂直，所以在横向磁场中只含有x分量。而且：zjmmxemraUJUZJAnHcos)()(11ar(3a)2zjmmxemraWKWZKAnHcos)()(22ar(3b)式中的“-”号是为了保证由yE和xH分量构成的TEM波的传播方向在正z轴的方向，从而与行波因子zje保持一致。利用麦克斯韦方程的分量式，可求得纵向场分量zE和zH为：yHnkjZyHjExxz200xEZkjxEjHyyz000将2a、2b、3c、3d四个公式代入上式，得到纤芯和包层中的纵向场量分别为：)1sin()()1sin()()(211101mraUJmraUJUJankjAUEmmmzar(4a)21102()sin(1)()sin(1)2()zmmmjA轾犏=++-犏臌ar(4b)1110[()cos(1)()cos(1)]2()zmmmjAUUUHJrmJrmkaZJUaajj+-=+--ar(4c)2110[()cos(1)()cos(1)]2()zmmmjA=+--ar(4d)将纵向场量表达式4a、4b、4c、4d与横向场量表达式2a、2b、3a、3b进行比较，发现纤芯中纵向场量与横向场量之比含有因子akU0/，而包层中纵向场量与横向场量之比含有因子akW0/，从教课书上的推导可知导波模的传播条件是1020nknk，从而得到：NAnnaknkaakU222102212003NAnnaknkaakW22210222020这说明纵向场量与横向场量之比总是小于数值孔径NA的。一般多模光纤的数值孔径NA取值为0.2左右，而单模光纤的数值孔径NA则取为0.1左右。即纵向场量远小于横向场量，因此表明弱导光纤中的光波可近似为准TEM波。在纤芯与包层的界面上应用电磁场边界条件21zzEE，可以得到：])1sin()()()1sin()()([])1sin()()()1sin()()([112111mWKWKmWKWKnWmUJUJmUJUJnUmmmmmmmm在弱导光纤条件下，近似认为21nn，上式等价于两个方程：)()()()(11WKWKWUJUJUmmmm(5a))()()()(11WKWKWUJUJUmmmm(5b)利用贝塞尔函数的递推公式，可知上面两个公式等价，可任取其中一个作为线偏振模的特征方程。将这个公式与,,WU三者之间的关系式(教科书上的公式(2-72a)和公式(2-72b))联合起来就可求得线偏振模的特征参数。2.远离截止时的线偏振模场解从线偏振模的特征方程推导出远离截止时的特征方程过程与书上过程类似，直接给出结果为：0)(fmUJ也就是说远离截止时，对于一个确定的m值，纤芯内场量的径向归一化相位常数将趋向于m阶贝塞尔函数的根，即：mnfU),3,2,1,2,1,0(nm以m阶贝塞尔函数的第n个根为径向归一化相位常数在V值很大时的极限的模式记为LPmn。m，n是模式序号。LPmn模的模式序号m，n具有明确的物理含义。在角方向，场量按mcos规律变化，当从0到2变化一周时，场量将出现2m个极大点和2m个零点。序数n反映了场量沿半径方向取极值的个数。43.截止时的线偏振模场解同教科书上的推导过程相似，可求得0W时的特征方程：0)()(1UJUJUmm区分0m和1m两种情形：当0m时，由于1)0(0UJ，可以将上式写成：0)(1UUJ也就是说LP0n模的归一化截止频率为0U和一阶贝塞尔函数的根。如果将零作为一阶贝塞尔函数的第0个根，则LP0n模的归一化截止频率为：1,1nccUV当1m时，由于0)0(mJ，所以不能取0U，所以截止时的特征方程是：0)(1UJm也就是说LPmn(1m)模的归一化截止频率为：nmccUV,1在所有的LPmn模中，LP01模的归一化截止频率等于0，因此是光纤中的主模式。此最低级模是LP11模，其归一化截止频率为2.405。4.线偏振模场解LPmn的简并度线偏振模的电场强度矢量E可以选取在Y轴方向也可以选取在X轴方向，因而每个LPmn模都有两种在空间正交的偏振状态。对LP0n模，场量的大小是轴对称的(因为只能取mcos的解)，因此每个LP0n模有两个偏振正交的简并模(简并度为2)。对于1m的情况，不但有偏振正交的简并模，而且场量在方向上可既可按mcos分布，也可按msin分布，因此简并度为4，也就是说每个5LPmn是一个包含有四个传输特性相同的模式的组合。5.线偏振模场解LPmn与矢量模之间的对应关系LPmn可看做具有相同传输常数的矢量模的组合，二者之间的关系如下：6