线性代数第二章2-4矩阵的秩.

1.行秩、列秩、矩阵的秩2.矩阵秩的求法3.向量组的秩的求法4.矩阵秩的性质5.矩阵秩与行列式的关系2.4.矩阵的秩1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义2.4.1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵1131021400050000A的行向量组是:1234(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(0,0,0,0)可以证明，123,,是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由1122330kkk即12311212123(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(,2,3,45)(0,0,0,0)kkkkkkkkkkk可得1230,kkk即123,,线性无关；而4为零向量，包含零向量的向量组线性相关，1234,,,线性相关。所以向量组1234,,,的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是123411310214,,,00050000可以验证124,,线性无关，而且312471022所以向量组1234,,,的一个极大无关组是124,,所以向量组1234,,,的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩?定理2.4.1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）证：把mnA按行分块，设12mnmA（1）对换矩阵A的两行A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。（2）用非零常数k乘以A的第i行112ikriimmkAA显然，向量组1,,,,imk可以由向量组1,,,,im线性表示；而向量组1,,,,im也可以由向量组1,,,,imk线性表示。所以矩阵A的行向量组与2A的行向量组等价，又等价的向量组有相同的秩，A的行秩＝2A的行秩，即A的行秩不变。（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上113iiikrjjimmAAk显然，3A中的行向量组可以由A的行向量组线性表示A而的行向量组可以由3A中的行向量组线性表示。因而两个向量组等价，既行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。Th2.4.2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关系。（列）（行）举例说明例3设矩阵420651200311A列向量组有线性关系32142aaaa矩阵A经过有限次初等变换得到B,则矩阵B的列向量2a4a3a1a,,,,4321间也有线性关系32142解:对矩阵A作初等变换如下420651200311A4166051200311136rr～233rr～191900512003111913r～11005120031131323rrrr～110040203011212r～11002010301121rr～1100201010011234显然32142推论：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理2.4.3：矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为000rE形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定义2.4.2：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为R(A),或秩A。推论：若矩阵A~B,则R(A)=R(B).若R(A)=n,则称A为满秩矩阵二、矩阵秩的求法.行阶梯形矩阵：10104011030001300000B例如：11214021100005300000A特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．11214021100005300000行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。10104011030001300000B例如：注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。显然:B的行秩为3,R(B)=3结论：行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例3:32050323612015316414A求A的秩。41461351021632305023A0502335102163234146141rr128121601179120113404146142rr141332rrrr8400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr244rr34rr3.向量组的极大无关组的求法.（1）向量组12,,,s作列向量构成矩阵A。（2）AB初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。1201142333114132A【解】对矩阵仅施以初等行变换：)(4321A12011423413233111,1,3,42,4,3,1430,2,1,31,3,1,221（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组.【例4】21101055010550331100000000211033110000000021101201,2)(Ar，的秩是所以向量组2,,,4321由最后一个矩阵可知，,,21无关组是原向量组的一个极大且21322142111111231014935A12111,124,【例5】试证3139为向量空间的一个基，并求向量3R在该组基下的坐标.12113,105,【解】对矩阵仅施以初等行变换：12312(,)A1111101201038261111101201002233,RA123,,则线性无关，可以作为了3R的一个基。继续进行行变换11111012010022311111012013001121100220102230011251101201022300112112322由于行变换不改变线性关系，212313222221132225.矩阵的秩与行列式的关系定义3：矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩阵A的k阶子式。例：111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa23221312aaaa称为二阶子式333231232221131211aaaaaaaaa称为三阶子式矩阵的秩的另一种定义：定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r＋1阶子式（如果有的话）都为零，则R(A)=r.mn阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的最高阶数。注：零矩阵的秩为零。例：问题：k阶子式分别有几个?111213142122232431323334aaaaaaaaaaaanm矩阵共有个阶子式.kkmnCCk1最低阶为阶，最高阶为阶.min{,}mn例１132202132015A已知，求秩．,022031102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0.0.2AR用定义求矩阵的秩并非易事，因此我们用初等变换法去求矩阵的秩.应用举例三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);练习：向量组12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)TTTTT求向量组的秩和一个极大无关组。解：7135421132151711184011A15171211327135411840111a2a3a4a5a1517109111003644430637770151710911100000300000B()3rA又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，125,,是12345,,,,的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？135,,145,,与练习：求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设212341352012A2123011101112123011100002012011100001210101110000B则B的1，2列为极大无关组且123124121,11所以12,为所求的一个极大无关组，且123124121;11