线性代数课件第4章向量空间与线性变换

第4章向量空间与线性变换第4章向量空间与线性变换Rn的基与向量关于基的坐标Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵4.1Rn的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标我们知道1)Rn中的n个单位向量εi=(0,…,0,1,0,…,0)(i=1,…,n)是线性无关的；2)一个n阶实矩阵A=(aij)n×n，如果|A|≠0，则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的；3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向量α都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法唯一。Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与“坐标”的概念。4.1Rn的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标定义：设有序向量组B＝{β1,β2,…,βn}属于Rn，如果B线性无关，且Rn中任一向量α均可由B线性表示，即α＝a1β1＋a2β2＋…+anβn就称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1,a2,…,an)是向量α关于基B（或说在基B下）的坐标，记作：αB＝(a1,a2,…,an)或αB＝(a1,a2,…,an)T并称之为α的坐标向量。4.1Rn的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标显然Rn的基不是唯一的，而α关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基。在三维几何向量空间R3中，i,j,k是一组标准基，R3中任一个向量α可以唯一地表示为：α＝a1i+a2j+a3k有序数组(a1,a2,a3)称为α在基i,j,k下的坐标。如果α的起点在原点，(a1,a2,a3)就是α的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量α与空间点P的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。4.1Rn的基与向量关于基的坐标Rn的基与向量关于基的坐标为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向量的形式(a1,a2,…,an)T表示，α=a1β1+a2β2+…+anβn可表示为：1212,,...,nnaaaαβββ4.1Rn的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2={β1,β2,…,βn},其中：求向量α=(a1,a2,…,an)T分别在两组基下的坐标。T1T2T1T1,1,0,,00,1,1,0,,00,,0,1,10,,0,1.nnββββ4.1Rn的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例解：α关于自然基B1={ε1,ε2,…,εn}显然有α=a1ε1+a2ε2+…+anεn，所以：设α关于B2有：1T12,,,naaaαB12112212,,,nnnnxxxxxxαββββββ4.1Rn的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例将以列向量形式表示的α,β1,β2,…,βn代入上式，得：11221110001100010000100011nnnnxaxaxaxa4.1Rn的基与向量关于基的坐标求向量关于基的坐标举例解上式非齐次线性方程组，即得：2112121121121nnnnnxaxaaxaaaxaaaaαB4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。为了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的关系，先证明下面的定理。4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换定理：设B={α1,α2,…,αn}是Rn的一组基，且：则η1,η2,…,ηn线性无关的充要条件是：11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaaηαααηαααηααα111212122212det0nnnnnnaaaaaaaaa=A4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换证：由定理中方程式得：η1,η2,…,ηn线性无关的充要条件是方程：只有零解xj＝0(j=1,2,…,n)。11,2,,njijiiajnηα11111nnnnnjjjijiijjijjiijxxaaxηαα04.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换由于α1,α2,…,αn线性无关，由上式得：因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。101,2,,nijjjaxin4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换设B1＝{α1,α2,…,αn,}和B2={η1,η2,…,ηn}是Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下所示：将其表示成矩阵形式11121212221,21,212,,,,nnnnnnnnaaaaaaaaaηηηααα11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaaηαααηαααηααα4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换记上式右面的矩阵为A（注意：A是α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作：(η1,η2,…,ηn)=(α1,α2,…,αn)A4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换定义：设Rn的两组基B1={α1,α2,…,αn}和B2={η1,η2,…,ηn}满足下式式的关系，则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基B1变为基B2的变换矩阵）。11121212221,21,21,212,,,,,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaηηηααααααA4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换根据前面定理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基的基向量ηj在旧基{α1,α2,…,αn}下的坐标。4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换定理：设向量α在两组基B1={α1,α2,…,αn}和B2={η1,η2,…,ηn}下的坐标向量分别为：基B1到基B2的过渡矩阵为A，则Ay=x或y=A-1xTT1212,,,,,,nnxxxyyyxy和4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换证：由已知条件，可得：(η1,η2,…,ηn)=(α1,α2,…,αn)A故：由于α在基α1,α2,…,αn下的坐标是唯一的，所以：Ay=x或y=A-1x11221122nnnnxxxyyyααααηηη11112222121,2,1212,,,,,,,,,,nnnnnnnnxyyyxyyyxyyyααααηηηαααAαααA4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例例2：已知R3的一组基B2＝{β1,β2,β3}为β1=(1,2,1)T，β2=(1,-1,0)T，β3=(1,0,-1)T，求自然基B1={ε1,ε2,ε3}到基B2的过渡矩阵A。4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例解：由即得123123111(,,)(,,)210101βββεεε111=210101A11232123132βεεεβεεβεε4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例由例2可见，在Rn中由自然基B1={ε1,ε2,…,εn}到基B2={β1,β2,…,βn}的过渡矩阵A，就是将β1,β2,…,βn按列排成的矩阵。4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例例3：已知R3的两组基为B1={α1,α2,α3}及B2={β1,β2,β3}，其中：1）求基B1到基B2的过渡矩阵A；2）已知α在基B1下的坐标为(1,-2,-1)T，求α在基B2下的坐标。TTT123TTT1231,1,1,0,1,1,0,0,11,0,1,0,1,1,1,2,0αααβββ4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例解：1）设：将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：11121312,312,3212223313233,,aaaaaaaaaβββααα111213212223313233101100012110110111aaaaaaaaa4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例故过渡矩阵1111213212223313233100101110012111110100101101110012111011110122aaaaaaaaaA4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例2）根据前面的定理得α在基B2下的坐标另一解法：先求出α，即：然后按α=y1β1+y2β2+y3β3，解出坐标(y1,y2,y3)T。1123102115213227112114yyyAT12321,1,2αααα4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例利用前面定理中关于不同基下坐标的关系的结论，容易得到平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式。设平面直角坐标系逆时针旋转θ角（见课本165页图4.1），在Oxy坐标系中，取基ε1=i,ε2=j；在Ox’y’坐标系中取基ε’1=i’,ε’2=j’，则：112212'cossin'sincosεεεεεε4.1Rn的基与向量关于基的坐标基之间的变换举例即：于是向量α在基{ε1,ε2}和{ε’1,ε’2}下的坐标(x1,y1)和(x’1,y’1)满足关系式1212cossin',',sincosεεεε1'111'111cossincossinsincossincosxxxyyy4.2Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n维实向量的内积，欧式空间在前面讨论的n维实向量空间中，我们只定义了向量的线性运算，它不能描述向量的度量性质，如长度、夹角等。在三维几何空间中，向量的内积（即点积或数量积）描述了内积与向量的长度及夹角的关系。由内积定义：a·b=||a||||b||cosa,b可以得到：cos,,ababaaaab4.2Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n维实向量的内积，欧式空间若a=a1i+a2j+a3k，简记为a=(a1,a2,a3)；b=b1i+b2j+b3k，简记为b=(b1,b2,b3)。由内积的运算性质和内积的定义，可得：a·b=a1b1+a2b2+a3b3现在我们把三维几何向量的内积推广到n维实向量，在n维实向量空间中定义内积运算，进而定义向量的长度和夹角，使n维实向量具有度量性。4.2Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n维实向量的内积，欧式空间定义：设α=(a1,a2,…,an)T和β=(b1,b2,…,bn)T∈Rn，规定α与β的内积为：(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn当α,β为列向量时，(α,β)=αTβ=βTα4.2Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵n维实向量