线性方程组解的判定

1第四节线性方程组解的判定从本节开始，讨论含有n个未知量、m个方程的线性方程组的解。11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（13—2）主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A，即11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab方程组（13-2）中的未知量组成一个n行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m行、1列的矩阵(或列向量），记作b，即12nxxXx,12mbbbb由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212nnmmmnaaaaaaaaa12nxxx=12mbbb即AX=b2如果令112111maaaa，122222maaaa，…，12nnnmnaaaa则方程组（13-2）的向量形式为1122nnaxaxaxb定理1（有解判定定理）方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A）推论1线性方程组（13-2）有惟一的充分必要条件是r(A)=r(A)=n.推论2线性方程组（13-2）有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A)n.例1判断下列方程组是否有解？若有解，是有惟一解还是有无穷多解？（1）12312312331334591xxxxxxxxx（2）12312312331334590xxxxxxxxx（3）12312312331334580xxxxxxxxx解（1）113111311131313404610461159104600001A所以秩(A)=3，秩(A)=2；秩(A)≠秩（A），故方程组无解。（2）113111313134046115900000A秩(A)=秩(A）=2n(=3),故方程组有无穷多解。（3）113111313134046115800010A秩(A)=秩(A)=3=n，故方程组有惟一解。3方程组（13-2）12,,,mbbb全为零时，称为齐次线性方程组。即111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（13-3）其矩阵形式为AX=0对齐次线性方程组（13-3）而言，显然，其增广矩阵A的秩与系数矩阵A的秩相等，即秩（A）=秩（A），由定理1可知它总是有解的。比如120nxxx就是方程组（13-3）的一个解，常称之为零解。但所关心的是方程组（13-3）在何条件下有非零解。将推论1及推论2应用到齐次线性方程组（13-3）上，得到以下结论。推论3齐次线性方程组（13-3）只有零解的充分必要条件是r(A)=n.推论4齐次线性方程组（13-3）有非零解的充分必要条件是r(A)n.例2试问线性方程组1231231230200xxxxxxxxx当λ取何值时有非零解。解方程组为齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵12111112101011001A当λ－1=0,即λ=1时,r(A)=2n(=3),由推论4,该方程组有非零解.学生板演巩固练习：1.2.3.4.总结归纳：通过本节的学习，能对线性方程组解的的情况作出准确判定。课外作业：习题1.2.3