线性方程组解的结构

第六节线性方程组解的结构内容要点：一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)若记mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,nxxxX1则方程组(1)可写为向量方程0AX(2)称方程(2)的解nxxxX21为方程组(1)的解向量.1．齐次线性方程组解的性质:性质1若21,为方程组(2)的解,则21也是该方程组的解.性质2若1为方程组(2)的解,k为实数,则1k也是(2)的解.注:齐次线性方程组若有非零解,则它就有无穷多个解.由上节知：线性方程组0AX的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间.称此向量空间为齐次线性方程组0AX的解空间.定义1齐次线性方程组0AX的有限个解t,,,21满足:(1)t,,,21线性无关;(2)0AX的任意一个解均可由t,,,21线性表示.则称t,,,21是齐次线性方程组0AX的一个基础解系.注：方程组0AX的一个基础解系即为其解空间的一个基,易见方程组0AX基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若t,,,21是齐次线性方程组0AX的一个基础解系.则0AX的通解可表示为ttkkkX2211其中tkkk,,,21为任意常数.当一个齐次线性方程组只有零解时,该方程组没有基础解系;而当一个齐次线性方程组有非零解时,是否一定有基础解系呢?如果有的话,怎样去求它的基础解系?下面的定理1回答了这两个问题.定理1对齐次线性方程组0AX，若nrAr)(,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于rn,其中n是方程组所含未知量的个数.注：定理1的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.且若已知rn,,,21是线性方程组0AX的一个基础解系，则0AX的全部解可表为,2211rnrncccx(4)其中rnccc,,,21为任意实数.称表达式（4）线性方程组0AX的通解.二、解空间及其维数设A为nm矩阵,则n元齐次线性方程组0AX的全体解构成的集合V是一个向量空间,称其为该方程组的解空间,当系数矩阵的秩rAr)(时,解空间V的维数为rn.当nAr)(时,方程组0AX只有零解,此时解空间V只含有一个零向量,解空间V的维数为0;当nrAr)(时,方程组0AX必含有rn个向量的基础解系rn,,,21,此时方程组的任一解可表示为,2211rnrnkkkx其中rnkkk,,,21为任意实数.而解空间V可表示为}.,,,,|{212211RkkkkkkxxVrnrnrn二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(5)它也可写作向量方程bAX(6)性质3设21,是非齐次线性方程组bAX的解,则21是对应的齐次线性方程组0AX的解.性质4设是非齐次线性方程组bAX的解,为对应的齐次线性方程组0AX的解，则非齐次线性方程组bAX的解.定理2设*是非齐次线性方程组bAX的一个解,是对应齐次线性方程组0AX的通解,则*x是非齐次线性方程组bAX的通解.注：设有非齐次线性方程组bAX，而n,,,21是系数矩阵A的列向量组，则下列四个命题等价：(1)非齐次线性方程组bAX有解；(2)向量b能由向量组n,,,21线性表示；(3)向量组n,,,21与向量组n,,,21，b等价；(4))()(bArAr.例题选讲：例1求下列齐次线性方程组的一个基础解系:.0,0223,0322432143214321xxxxxxxxxxxx例2(讲义例1)求齐次线性方程组0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解.注：在第一节中，线性方程组的解法是从例1中的)(式直接写出方程组的全部解（通解）.实际上可从例1中的)(式先取基础解系,再写出通解,两种解法其实没有多少区别.例3(讲义例2)用基础解系表示如下线性方程组的通解.076530553202303454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例4求解下列齐次线性方程组:.022,03,0234334334321xxxxxxxxxxx例5求解齐次线性方程组:.0263,0832,052242,022542154321543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx例6(讲义例3)证明).()(ArAArT例7(讲义例4)求出一个齐次线性方程组,使它的基础解系由下列向量组成:.1234,432121例8(讲义例5)求下列方程组的通解.123438,23622,2323.735432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例9求解下列非齐次线性方程组:.0895,4433,13432143214321xxxxxxxxxxxx例10求解下列线性方程组:.432,636242,232543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx例11(讲义例6)设四元非齐次线性方程组bAX的系数矩阵A的秩为3,已经它的三个解向量为,,,321其中0864,2143321,求该方程组的通解.课堂练习1.求线性方程组2/132130432143214321xxxxxxxxxxxx的通解.2.设矩阵nmijaA)(,snijbB)(满足OAB并且.)(rAr试证:.)(rnBr