线代总复习-赖增强.

线性代数总复习要求：理解行列式的概念，计算低阶及特殊的行列式。两个定义：n阶行列式、n阶方阵行列式一、行列式会用其性质与展开式定理两个重要概念：余子式和代数余子式注：行列式是一个算式，它表示由n2个数按照下列规则运算所得到的一个数。（项数、乘积项、符号）2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积3、性质4、特殊关系式1、定义是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式化为三角形行列式，是计算行列式的重要方法。5、展开定理例题1计算下列行列式解r4-100r2r2-2r1r4-r1r3-0.5r2r4-0.5r22）设行列式解例题(3)解解(6)计算(7)解方程此为范德蒙行列式（8）解:原式=(9)(10)分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程组。主要内容：二、矩阵矩阵是线性代数中最基本的概念之一，它贯穿于全书的各个方面，因而把代数称为矩阵代数.矩阵的概念、运算、初等变换、秩、逆矩阵1、定义由m×n个数(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，特别：零矩阵、n阶方阵、行（列）矩阵、n阶对角阵、三角阵、单位阵。2、矩阵的线性运算与矩阵转置矩阵的运算律(略)特殊矩阵：A为n阶对称矩阵若A为n阶反对称矩阵若阶梯阵A与行最简阶梯阵B1、每个阶梯只占一行2、每个阶梯使第一个数非零3、阶梯的左下方每个元素为零B中某个阶梯上的第一个数都是1，这些1所在列其它元素全为零。定义n阶方阵A可逆3、可逆矩阵的定义则称A是可逆方阵,则B是A的一个逆矩阵。中若存在方阵B,使对于一般矩阵而言4、可逆矩阵的性质设A、B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则11111,TTABBAAA5、求方阵A的逆矩阵的方法特别：6、矩阵的初等变换共三种7、初等矩阵互换阵倍加阵倍乘阵用初等方阵左(右)乘A，相当于对A作初等行（列）变换得到的矩阵，注:(1)初等矩阵都可逆；(2)初等矩阵与初等变换的关系1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：3、关于秩的重要结论8、矩阵的秩矩阵的秩（续）9、秩的求法：1)R(A)：A的不等于0的子式的最大阶数。2）初等变换法：秩(A)=T的阶梯数3）若P可逆，则常需先验证P可逆例题2---(矩阵1)1设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则例题2---(矩阵2)2设A、B都是n阶方阵，则e例题2---(矩阵3)解例题3---(逆阵1)1,cossinsincos.1AA求设解1cos1sin1sin1cos12222122121121111AAAA1Acossinsincos1Acossinsincoscossinsincos111221221111AAAAAA例题3---(逆阵2)解2）例题3---(逆阵3)3、设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，解关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E分析例题4---(逆阵4)4、已知解例题5设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，则得显然A-E、B均可逆，并且对式（1）左乘（A-E）-1，右乘B-1，得1、左右次序2、左右乘逆解例题6---矩阵的秩R(A)=2初等变换例题7---矩阵设A、B分别是5阶、3阶方阵，且求解10分块矩阵分块对角阵及其性质rAAAA21rrBABABACAB2211.1rBBBB21其中.,,2,1,nkBAkk均为方阵。2、4、3、秩（A）=秩5、可逆时，则A可逆，且线性方程组解的存在性定理各种解法解的结构三线性方程组的解法与解的结构定理1设有非齐次线性方程组方程组---1---存在性定理2设有齐次线性方程组设R(A)=r,则定理1设有齐次线性方程组（2）方程组---2---通解、基础解系方程组---2---通解、基础解系定理2设有非齐次线性方程组（1）方程组---3---解的结构（2）（1）性质1性质2方程组的解法（1）（阶梯型），利用T判断?(行最简形）3、写出以T0为增广矩阵的同解方程组。4、适当移项（解不唯一），并“配齐”写出通解。（阶梯型），利用T判断?(行最简形）3、写出以T0为系数矩阵的同解方程组。4、适当移项（解不唯一），并“配齐”写出通解。无解]（可用克莱姆法则）方程组---4---例题1求如下线性方程组的通解解对增广矩阵进行初等行变换15401332232411211311A行变换00000000000671015401T43243167541xxxxxx与T相对应的同解方程组为：移项并“配齐”得：则通解为106501740001214321kkxxxx方程组---4---例题2讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、解对增广矩阵进行初等行变换有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。例题2（续）例题2（续）则通解为则得一同解方程组为方程组---4---例题3讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。解系数行列式所以1):2):例题3（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.2):则通解为方程组---4---例题4---判别(1)对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?方程组---4---例题4---判别(2)对非齐次线性方程组来说,例题4（续）(4)齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是(3)方程组---5---两个结论此时A可逆此时A的n-1阶子式全为0,A*=0方程组---例题6---证明1解1）是；2）方程组---例题6（续）3）由（2）即得条件方程组---例题6---证明2证明1）用A左乘（1），得将x=0代入（1），得三、向量组的线性相关性学生应正确理解线性表示、相关性、极大无关组、秩的定义。充分注意命题及其逆命题的叙述与应用。n元行（列）向量可以看作行（列）矩阵。向量的相等、加减与数乘、负向量、零向量、转置的定义与矩阵的相应概念的定义和方法完全一致。向量1---定义1定义1是否非零无要求关键：存在某组使（1）成立，向量1---定义2定义2关键：存在某组不全为使（2）成立。推论：向量1---定义3定义3定义4向量组的表示、等价四、内积、施密特正交化。定义1设称为向量与的内积.性质设时等式成立当且仅当都是n维向量，K为实数则有定义2设称为的长度。当时，称为单位向量。设当时，称与正交。定理3.7.1中两两正交、非零向量组线性无关。在欧氏空间中，若满足称为标准正交基。定义3定义4是n阶方阵,若是正交矩阵称性质2的列(行)向量组为正交单位向量组是正交矩阵性质1是正交矩阵则A可逆且设性质3设A、B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。即A的n个列向量是单位正交向量组。性质4设A是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质5设A是正交矩阵，则施密特正交化方法设在中为线性无关向量组令正交化过程：则是正交向量组，定理1定理2关键：至少有一个，但不能保证是哪一个。定理3秩（A）=A的列向量组的秩=A行向量组的秩定理4矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；讨论线性相关性、求秩也可用此方法。定理5定理6数字型数字型性质1性质2性质3性质4等价的向量组的秩相等；等价的线性无关组所含的向量个数相等。例题1判别例题2例题2选择DF例题2选择BC例题3设解例题3(续)B的极大无关组为：其余向量由此极大无关组表示为：因为矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，其余向量由此极大无关组表示为：所以例题4解1)因为行列式所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；否则线性无关。解2）例题5-证明证明例题6---证明分析：只要证明：B的列秩=m;只要证明：R(B)=m;证明例题7--证明单位化得求与都正交的单位向量。设所求向量为解即解此方程组得基础解系为所求的向量例8设向量组问k为何值时表示法唯一，不唯一，不可表示。解设即用克莱姆法则当方程组解唯一，即当表示法唯一。表示法不唯一。当同解方程例9设32116542108732121、证明321,,是R3的一组基2、求β在基321,,下的坐标分析：只要证明321,,线性无关即可解1、030`63852741321321,,线性无关，是R3的一组基解2、对)(321A进行初等行变换.2106318522741A2100301000013223故β在基321,,下的坐标为)2,3,0(六、特征值与特征向量、矩阵的对角化内容：矩阵的特征值与特征向量的定义、求法、性质；相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法。定义1使方程的一个特征值,相应的非零向量设方阵成立数和n元非零列向量则称数为对应的特征向量.称为的于（1）式也可写成即（2）式说明特征向量X的坐标是齐次方程（3）的非零解。因为X为非零向量，则（3）有非零解定义2设称含参数的矩阵为的特征矩阵,(的次多项式)称该矩阵的行列式称为的特征方程.为的特征多项式,1---特征值、特征向量---求法(1)特征值的求法(2)特征向量的求法例1求矩阵A、B的特征值与特征向量解1）例1（续1）例1（续2）2---特征值、相似矩阵---的性质性质12---特征值、相似矩阵---的性质性质2常用（3）（4）求参数性质3例2、3---特征值、相似矩阵例3设A是一个方阵-100例4---相似矩阵设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.解1）因为矩阵A、B相似，所以2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值，所以并且1是B的一个特征值例5---相似矩阵设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3,解(1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值(2)因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的所以6B-E的特征值为求(1)A的特征值;(2)分别为特征值分别为3---特征向量的性质1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。rrA,,,,,,,2121的互不相同的特征值是设2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相,,21值的两个互不相同的特征是实对称矩阵设A0,213）正交向量组必是线性无关组。即必相互正交。是相应的特征向量，则2121,,必线性无关是相应的特征向量，则r,,,21互正交。即4---n阶方阵A可对角化的条件、方法1、一个充分必要条件：n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量2、两个充分条件：1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。3、对角化方法：4、正交对角化5---例6---对角化分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，解1）将矩阵A对角化。例6（续）对角化---4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化例6（续）对角化---例7---对角化例7分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，将矩阵B对角化。例7（续）---对角化4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化由于是单根，所以已经正交化，故只需单位化，令并且是正交矩阵则令,,31062312161312161,,321QQ6---例8（1）---几个证明11、设A～B,证明:A2～B2;tA－E～tB-E,t是实