线性代数在捷联惯性导航系统中的运用

线性代数在捷联惯性导航系统中的运用学号：BX1503537姓名：李子月摘要：线性代数是捷联惯性导航系统算法实现的数学理论基础，对导航算法研究具有重要指导意义。文章对捷联惯性导航系统的标定测试、导航解算算法进行了推导，针对线性代数理论中集合、线性空间、线性变换等思想在上述算法中的应用情况和重要性进行了重点分析，最后对线性代数理论在工程上的应用情况以及未来发展进行了总结和展望。关键字：线性代数、集合、线性变换、捷联惯性导航系统；Abstract:Linearalgebraisthemathematicalbasisofthestrapdowninertialnavigationsystem(SINS),whichhasimportantguidingsignificancetotheresearchofSINSalgorithms.CalibrationandnavigationalgorithmsofSINSwerededucedinthispaper.TherelationbetweenSINSalgorithmsandlinearalgebrawasdiscussedindetailed.Theimportantconceptsoflinearalgebrasuchasset,linearspaceandlineartransformationwereintroduced.Thebasicsituationoflinearalgebraconceptsusinginengineeringwasanalyzed.Finally,thelinearsystemtheoryinengineeringapplicationaresummarizedandthebasicsituationfuturedevelopmentprospect.Keyword:Linearalgebra;set;lineartransformation;SINS1引言线性代数是一门基础学科，研究对象主要为集合、群、线性空间，被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中。线性代数中的概念和思想在系统与控制理论中具有重要的指导意义，例如映射、线性变换。映射是集合中一个重要的概念，反映了一个集合中元素到另外一个集合元素的转换关系[1]，不仅是数学中最重要的基本概念和工具，在工程领域也有极其广泛的应用。线性变换理论中引入的矩阵思想，为实际工程中方程求解、坐标系变换提供了巨大帮助。捷联惯性导航系统以惯性基本原理为基础，通过固联在一起的加速度计和陀螺仪分别测量出载体自身相对于惯性坐标系的加速度和角速度[2]，并通过积分运算和姿态矩阵投影，获取载体实时的姿态、位置、速度等信息。由于不接收也不向外界发射信息，惯性导航系统具有自主性、隐蔽性、实时性、信息完备等一些列优势，广泛应用于军事、工程和科学研究领域，例如飞机、舰船、潜艇、航天器、导弹、矿井、车辆等载体导航。捷联惯性导航系统的标定测试、导航解算、组合导航[3]等算法均大量运用了映射、线性变换等线性代数思想，所以，线性代数理论可以为解决捷联惯性导航系统应用过程中的技术难题提供理论帮助。2捷联惯性导航系统算法捷联惯性导航系统算法主要包含标定测试算法、初始对准算法、导航解算算法和组合导航算法，下面对标定测试算法和导航解算算法进行推导。2.1标定测试算法捷联惯导系统的惯性组件通常包括互相正交安装的三个陀螺和互相正交的三个加速度计。以石英挠性加速度计及激光陀螺为例，其中加速度计的误差模型可写为[4]：2222000000bbbbaaaabbxaxaxaxYaxZxaxxbbayayXayayZyaxyybbazazXazYazzaxzzfBMfDffBSMMfdBMSMfdfBMMSfdf(1)式中，baB：加速度计零偏向量；bf：加速度计输入比力向量；aM：加速度计安装误差及刻度系数误差矩阵；aD：与加速度计二次项相关的误差矩阵；a：加速度计随机噪声向量。同理可得激光陀螺误差模型为：bbbibggibgbgxgxgxYgxZxgxbgygyXgygyZygybgzgzXgzYgzzgzBMBSMMBMSMBMMS标定技术是捷联惯性导航系统的关键技术，惯性器件在正式使用前都需要进行精密标定，以得到加速度计及陀螺的各项误差参数并对其进行补偿。根据标定原理和方法不同，标定方法种类较多，本文对十二位置分离标定方法进行推导。202020000000axaxaxaxYaxZxaxxaxayayayXayayZyaxyayazazazXazYazzaxzazyKSMMadayKMSMadayKMMSada其中,,aiyixyz为加速度计输出，,,iaixyz为加速度计输入，,,aiixyz为干扰噪声。其余参数为待估计量。以X加速度计为例，根据表1中各位置加速度计输入以及采集不同位置下加速度计的输出，可列出12个方程，写成矩阵形式如下：0221100021000310004100051000610071000810091000101000111000121000axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxygygygygKygyggygyggygygygyg123456789101112axaxaxaxaxaxaxaxYaxaxZaxaxaxaxaxaxSMMd记为：axaxaxaxYK根据最小二乘理论，由转动位置可以保证Taxax满秩，从而待求参数axK的最优估计为：1TTaxaxaxaxKaxY用同样的方法可以标定出Y轴和Z轴加速度计误差模型系数的最优估计。2.2姿态解算算法设由运载体的机体轴确定的坐标系为b，惯导系统采用的导航坐标系为n，则由b系到n系的坐标变化矩阵nbC称为运载体的姿态矩阵。姿态更新是指根据惯性器件的实时输出计算出nbC矩阵。由于nbC描述两个坐标系之间的转换关系，可以用一个姿态四元数Q与之对应。可以建立姿态四元数的微分方程为：12bnbdQQdt表示成矩阵形式为：00112233001020xyzxzyyzxzyxqqqqqqqq其中bnb为载体相对于导航系n的旋转角速度在载体系b下的投影，可由陀螺测得。激光陀螺的输出一般情况下是采样时间间隔内的角增量，为了避免噪声的微分放大，应直接用角增量来确定四元数，则姿态四元数解为：1121tknnbtkdTkkQteQt其中，取100000000kkxyzxyztxzyxzytyzxyzxzyxzyxdt其中x、y、z为x、y、z陀螺在1,kktt采样时间的角增量。可得姿态四元数的更新为：1sin2cos2kkQtIQt其中222xyz。3线性系统理论在捷联惯性导航算法中的应用情况分析和总结由2.1和2.2节内容可见，惯导系统标定算法和解算算法中大量运用了集合、线性空间以及线性变换的思想。惯导标定算法中误差的分离与解算是通过线性变换实现的，通过矩阵运算的方式对各误差参数求解。目前，如何设计最优路径实现惯导系统误差的充分激励和分离是惯导标定算法领域研究的热点和难点，而在线性代数领域，这是一个多元未知数求解问题，因此，线性代数理论可指导惯导标定算法研究。惯导系统解算过程中涉及到惯性坐标系、本体坐标系、导航坐标系转换，该坐标系转换即是通过矩阵运算实现的。矩阵运算的过程中，多矩阵相乘存在不可交换性，而惯性导航解算为了提高算法的效率，矩阵未按照顺序进行运算，算法虽然对该部分误差进行了补偿，但残余不可交换误差仍会造成惯导系统圆锥误差。以线性代数矩阵运算的角度解决该问题，将会对惯导算法研究带来帮助。4参考文献[1]戴华.矩阵论[M].南京:科学出版社,2000.[2]秦永元,张洪钺,汪淑华.卡尔曼滤波与组合导航原理[M].西安:西北工业大学出版社,1998.[3]胡小平.自主导航理论与研究[M].2002,国防科技大学出版社:长沙.[4]杨华波.惯性测量系统误差标定与分离技术[D].2008，长沙，国防科技大学.