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§4.3静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures结构的位移(DisplacementofStructures)xyAAFP线位移,角位移,相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移DC相对线位移CDDCFP相对角位移制造误差等铁路工程技术规范规定:计算位移的目的引起结构位移的原因(1)刚度要求如:载荷、温度改变T、支座移动c、在工程上,吊车梁允许的挠度1/600跨度;桥梁在竖向活载下,钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。(3)理想联结(IdealConstraint)。位移计算的假定(2)超静定、动力和稳定计算(3)施工要求叠加原理适用(principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),一、位移计算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)下面从虚功方程入手,讨论杆系结构位移计算的一般公式。设待求的实际广义位移为ΔK实际位移状态P?BxKABC虚设的力状态PKABC,与ΔK对应的广义力为P。设仅在水平力PK作用下,与之平衡的轴力、剪力和弯矩分别为MQN,,MQN,,若结构有已知支座位移为ci实际位移状态P?KABC虚设的力状态PKABCdλ、dη和dθRc,与其对应的由广义力PK引起的支座反力为R又设与内力对应的微段实际变形分别为dλ、dη和dθ。MQN,,MQN,,CRdQdMdNK外力虚功W外虚=ΣRiCi+PKΔK由虚功方程位移计算的一般公式dQdMdNW内虚内力虚功令PK=1W外虚=W内虚则结构虚功方程改写为CRdQdMdNKRQMN,,,由单位载荷Pk=1引起的内力和反力Cddd,,,实际状态中的微段变形、支座位移k实际状态中拟求的位移单位载荷法——马克斯威尔-莫尔(Maxwell-Mohr)法k计算结果为正,所求的位移与单位力指向一致,否则相反公式的普遍性表现在:2.结构类型:梁、刚架、桁架、拱、组合结构;静定和超静定结构;1.位移原因:载荷、温度改变、支座移动等;3.材料性质:线性、非线性;4.变形类型:弯曲、拉(压)、剪切变形;5.位移种类:线位移、角位移;相对线位移和相对角位移。CRdQdMdNKBA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)PK=1PK=1PK=1ABCd?BC(c)dPK1dPk1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=?P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。1.、载荷作用下的位移计算dMdQdNkP对于由线弹性直杆组成的结构,由材料力学有:EIdsMdGAdsKQdEAdsNdPPP,,二、静定结构的位移计算CRdQdMdNKPPPMQN,,结构在载荷作用下实际状态中微段的内力式中:E弹性模量;G剪切模量;A横截面积;I截面惯性矩;K截面形状系数。如:对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。sEIMMGAQQKEANNPPPKPd轴向剪切弯曲内力的正负号规定如下:轴力以拉力为正;PNN,剪力使微段顺时针转动者为正;QQP,弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时,其乘积取为正。MMP,几点讨论(只有荷载作用):一般来说,剪切变形影响很小,通常忽略不计。1.对梁和刚架:EIsMMPKPd2.对桁架:EAlNNEAsNNPPkPd3.对组合结构:sEIMMGAQQKEANNPPPKPdEAlNNEIsMMPPkPdPl/2l/2EIABx1x2求图示等截面梁B端转角。解:1)虚拟单位荷载m=12)MP须分段写)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl162例:求刚架A点的竖向位移。解:构造虚设状态(实际状态)分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程(或画出内力图)(虚拟状态)qxxQPFqlqlPFNx221qxPM221ql载荷内力图xxlMx1PFQ1PFN单位内力图将内力方程代入公式GAsQQKEAsNNEIsMMPPPAyddd)54581(85224GAlkEIAlIEIql,有:例3:求对称桁架D点的竖向位移。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积A,设E=210GPa。)m10(21DyFN解:构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中各杆的内力代入公式得:)(mm8EAlNNPDyNiiNdN3.制造误差引起的位移制造误差另外,温度变化时,杆件不引起剪应变,微段轴向伸长和截面转角为:hststdddd线膨胀系数FP=1NN图面积MhsMtsNthstMstNMNtKydddddd)(对等截面直杆MNhtt图面积NF将温度引起的变形代入公式,可得上式中的正、负号:若温度以升高为正,则轴力以拉为正;若和使杆件的同一边产生拉伸变形,其乘积为正。Mt对梁和刚架:对桁架:MNthttlNtt几种情况:温度引起的轴向变形影响不能少。例:刚架施工时温度为20,试求冬季外侧温度为-30,内侧温度为-20时A点的竖向位移。已知l=4m,,各杆均为矩形截面杆,高度h=0.4mC0C0C0Ay510实际状态解:构造虚拟状态虚拟状态单位荷载内力图为:M图N图CtCt0010)30(20,252)20()30()(005.0mhttMNAy等于0温度支座dddMQNcRii多种因素下的位移计算一般公式])d()d[(])d()d[(])d()d[(tPtPtPiiMQNcRttPPPiiMNMQNcR)d()d()d()d()d(tPCMNPPPiihttsEIMMsGAQQksEANNcRddd例3:求?Cx1c2c3c实际位移状态CBAllPC010解:构造虚设力状态)1(10)(163213hllCCCEIPlCxCBA1AxF1CyF1AyF虚拟力状态Pk=1同时考虑载荷、温度和支座位移的影响已有基础:1.静定结构的内力计算;2.利用位移计算公式求静定结构的位移;3.杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:GAsQQkEAsNNEIsMMPPPPddd图乘法及其应用(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)梁、刚架结构GAsQQkEAsNNEIsMMPPPPdddEIsMMPPd一、图乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1xxMEIPdtanccyEIxEI1tan必须注意适用条件图乘法是Vereshagin于1925年提出的,他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法顶点指曲线切线与杆轴重合或平行C2nl2)1(nln1nhlh三、注意事项:1.图乘法的应用条件:(1)等截面直杆,EI为常数;(2)两个M图中应有一个是直线;(3)应取自直线图中。cy2.若与在杆件的同侧,取正值;反之,取负值。cycy3.如图形较复杂,可分解为简单图形.(1)曲-折组合jjKiyyyyxMM332211d例如(2)梯-梯同侧组合122211dyyxMMKi3)2(3)2(21dcydcy(3)梯-梯异侧组合11y22yABCDabcdKM图M图bc取负值2211dyyxMMKi3)2(3)2(21dcydcy(4)阶梯形截面杆jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM333322221111d四、应用举例例1.设EI为常数,求和。CyB2l2l解:作荷载内力图和单位荷载内力图BAq281qlPM图CABFP=1M图4l)(38452)]485()81232[(142EIqllqllEICy对吗?应分段!CABM图121EIqlqllEIB32241]21)8132[(1()BAq281qlPM图Pl/2l/2C例:求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853Pl65×llEIyC22210××5Pl/6?例2.已知EI为常数,求刚架C、D两点距离的改变。CD解:作荷载内力图和单位荷载内力图)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCDhyc2p117例3.已知EI为常数,求刚架A点的竖向位移,并绘出刚架的变形曲线。AyFP解:作荷载内力图和单位荷载内力图在图求面积,在图取竖标,有:MPM)(16423212213PPPEIlFlFllEIlFllEIEIycAyM图EI2EIPM图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4绘制变形图时,应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向,注意反弯点的利用。如:PM图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知:E、I、A为常数,求。CyABCFP2l2laD解:作荷载内力图和单位荷载内力图EAaFEIlFaFEAllFlEIsEAFFsEIMMlaPPCy4482211]432)4221[(2ddP3PPP00NN请对计算结果进行适当讨论!ABCFP2laD4PlFPM2PNFFP2lABC12laD4lM21NF2l)121(4833PAlaIEIlFCy例5.已知EI为常数,求。CyABCq2l2l解:作荷载内力图和单位荷载内力图A22ql82qlBCPM图A12lM图一种算法:)(1285)128364(1)2438323121282(144422EIqlqlqlEIlqlllqllEICyA22ql82qlBC结果正确否??解法一、Aq2QqlF82qlMA82ql82ql42ql)(38417)]2438231()34221()482[(14222EIqllqlllqlllqllEICyA22ql82qlBCPM图qABC2l2l解法二、A12lM图A82ql22ql322ql)(38417)]432232()68221()32221[(14222EIqllqlllqlllqllEICy22ql82ql例6.已知CD、BD杆的和AC杆的为常数,求。Dy11AE22IEFPABCD11AE11AE22IEaaa)(34)221()322(12)2)(2
本文标题:结构力学位移计算.
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