讲课测量不确定度的合成方式

测量不确定度的合成方式常宗英（山西省晋中市质量技术监督检验测试所，晋中030600）摘要：依据JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》计量技术规范，通过数学分析和推导，结合实例，详细阐述了测量不确定度合成时的几种方式。关键词：测量不确定度；合成；数学模型；相关0．引言在JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中，明确指出了测量不确定度合成的几种方式，但在实际应用中普遍存在一些误区，由于不能正确分析数学模型和使用相应公式，在不确定度合成中出现了各种错误。笔者结合自己的体会，通过实例，在不考虑高阶项的情况下，就如何正确分析和计算合成不确定度做如下探讨。1．常规线性模型的合成：如果数学模型为线性或者近似线性模型（即与一阶项相比，高阶项较小可以忽略，则表明该非线性模型可以近似作为线性模型处理），则合成标准不确定度yuc为：yuc=nininijjijiixxryuyuyu11112),()()(2)(（式1）公式说明：对于函数),(21xxfy，yuc=),()()(2)()(21212221xxryuyuyuyu对于函数),,(321xxxfy，yuc=),()()(2),()()(2),()()(2)()()(323231312121232221xxryuyuxxryuyuxxryuyuyuyuyu式1中，yui和yuj分别为第i和第j个分量的不确定度，yui=iixuc，yuj=jjxuc，ic，jc为灵敏系数，iixyc，jjxyc；jixxr,为输入量xi和xj之间的相关系数，一般在（-1～+1）之间，jixxr,=+1或-1表明xi和xj强相关，+1时是正强相关，jixxr,=0表明xi和xj不相关。例1：用同一把尺子测量一个立方体的边长1l、2l和3l，从而计算其体积V，数学模型为321lllV，只考虑测量仪器引入的不确定度，不确定度分量分别为1lu，2lu和3lu，计算V的合成标准不确定度。3211lllVc；3122lllVc；2133lllVc由于是用同一台测量仪器测量，相关系数均为+1，根据式1合成，V的合成标准不确定度为：Vuc3232313121213122222luluccluluccluluccluciii2321231132][lulllulllull=321231132lulllulllull例2：如果加在一个随温度变化的电阻两端的电压为V，在温度0t时的电阻为0R，电阻的温度系数为，在温度t时电阻损耗的功率P为被测量，被测量P与V、0R、、t的函数关系为0021ttRVP，假定各输入量均不相关，0t是常数，其不确定度可忽略，要求给出P的合成标准不确定度。VPc10012ttRV；02RPc02021ttRVPc3200021ttRttV；tPc420021ttRV将以上各式代入式1，则P的合成标准不确定度Puc为：Puc=tucucRucVuc22422302222212．各输入量之间均不相关时的合成：若各输入量之间均不相关，或虽存在相关的输入量，但其相关系数较小可以忽略，即jixxr,=0，将其代入式1，此时合成标准不确定度yuc可简化为：yuc=niiixuc122)(=niiyu12)(（式2）例3：通过测量直角三角形两直角边1l和2l确定斜边3l，数学模型为22213lll，假定1l和2l互不相关，其不确定度分别为1lu和2lu，计算3l的合成标准不确定度。222112221113122llllllllc；222122221223222llllllllc因1l和2l互不相关，可以根据式2合成，则3l的合成标准不确定度为：222122221221222212213)(lllullulluclucluc3．数学模型为连乘或连除形式的合成：3．1．有协方差项时的合成：若数学模型为连乘或连除的形式，即被测量y可以表示为：y=npnppxxcx2121，式中c为常数，p1，p2……pn是各输入量的指数，一般为常数，因此可不考虑c，p1，p2……pn的不确定度，灵敏系数ic为：iipnpippiiixypxxxcxpxycni12121，将上式代入式1，则有：yuc=nininijjijjiiiixxrxucxucxuc111122),()()(2)(=nininijjijjjiiiiiixxrxxuypxxuypxxuyp11112222),(2将等式两边同时除以被测量y，则有yyucnininijjijjjiiiiiixxrxxupxxupxxup1111222),(2此时，可用相对合成标准不确定度表示，即：yucrel=nininijjijrelireljiirelixxrxuxuppxup111122),()()(2)(（式3）式3中，yucrel为相对合成标准不确定度，yui和yuj分别为i和第j个分量的相对不确定度。3．2．jixxr,=0时的合成：若各输入量之间均不相关，或虽存在相关的输入量，但其相关系数较小可以忽略，即jixxr,=0，将其代入式3，于是合成相对标准不确定度yucrel可简化为：yucrel=niirelixup122)(=niirelyu12)(（式4）在此情况下，合成相对标准不确定度的表示形式与标准的线性模型完全相同，其差别仅是应将原来表示式中所有的不确定度全部改为相对不确定度，灵敏系数ic改为指数ip，也就是说此时所有不确定度分量应该用相对不确定度来表示。（绝对）不确定度xu和相对不确定度xurel之间的关系为xurel=xxu)(例4：用数字电压表测量标准电阻两端的电压来确定电流，数学模型为SSRVI，SR为标准电阻估计值，SV为用数字电压表测得的标准电阻两端的电压，假定SV和SR互不相关，其不确定度分别为SVu和SRu，计算I的合成标准不确定度。因SV和SR互不相关，数学模型符合连乘模式，可以根据式4合成，则I的相对合成标准不确定度为：22222222222111)(SSSSSrelSrelcrelRRuVVuRupVupIu=2222SSSSRRuVVu，此结果也可由式2推导得出，推导过程如下：SRc11，22SSRVc，代入式2，则有：42222222221)(SSSSSSScRRuVRVuRucVucIu，用相对形式表示：2222)(SSSScrelRRuVVuIu可以看出，式3，式4是式1，式2的简化式。4．jixxr,=1时的合成：输入量间相关，且相关系数均为+1时，将jixxr,=1代入式1，则有：式1=2111112)()(2)(niinininijjiiyuyuyuyu此时合成标准不确定度为：niiicxuxfyu1（式5）数学模型是连乘形式，且输入量间相关系数均为+1时，同样将jixxr,=1代入式3可得出niirelicrelxupyu1（式6）例5：在例3中若两直角边用同一台测量标准进行测量，且只考虑由标准装置引入的不确定度分量，则1l和2l正强相关，相关系数为+1，可以根据式5合成，3l的合成标准不确定度为：2221221122113lllullulluclucluc可以看出，例5的合成标准不确定度明显大于例3，如果在相关系数较大时不考虑相关性，将使分析出的合成标准不确定度偏差较大。例6：在例1中，由于是用同一台测量仪器测量，相关系数均为+1，数学模型是连乘形式，符合式6的合成条件，可以用式6合成，V的相对合成标准不确定度为：33221131llullullulupVuiirelicrel321231132lulllulllullVuc可以看到式6直接用指数计算，避免了计算偏导数，大大简化了计算过程。5．结束语：综上所述，式1为常规的合成方式，在运用时应注意选取适当的相关系数jixxr,，计算协方差项，并且要计算灵敏系数ci；式2为各输入量间均不相关时式1的简化式，此时jixxr,=0，协方差为0；当数学模型为连乘或连除形式时，式3和式4分别成为式1和式2的简化式，输入量间相关时用式3合成，不相关时用式4合成；当所有输入量间都正强相关，即jixxr,=1时，式5和式6分别成为式1和式3的简化式，数学模型为连乘形式时用式6，其余情况下用式5合成。所以，当数学模型符合式2，式3，式4，式5，式6的使用要求时，我们可以用简便的方法进行计算，但应注意计算过程中灵敏系数和指数的正负。当数学模型不符合任何简便算法的要求时，我们只能用式1分步计算。参考文献[1]JJF1059-1999测量不确定度评定与表示，1999[2]李慎安，测量不确定度表达10讲，中国计量出版社，1999[3]刘蕾张小章，不确定度传递计算的比较，计量技术，2010（5）作者信息：姓名：常宗英工作单位：山西省晋中市质量技术监督检验测试所联系地址：山西省晋中市锦纶南路244号晋中市质量技术监督检验测试所联系电话：[phone]电子邮件：[e-mail]邮政编码：030600