专训1-用二次函数解决问题的四种类型

专训1用二次函数解决问题的四种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．建立平面直角坐标系解决实际问题题型1物体运动类问题1．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4m，AC＝3m，网球飞行最大高度OM＝5m，圆柱形桶的直径为0.5m，高为0.3m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？(第1题)题型2建筑物问题2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为()(第2题)A．50mB．100mC．160mD．200m题型3拱桥(隧道)问题3．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，隧道宽AA1为16m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．(第3题)建立二次函数模型解决几何最值问题题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题(第4题)4．如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________m.题型2利用二次函数解决图形面积的最值问题5．如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相对应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线上．(1)若BE＝a，求DH的长．(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(第5题)建立二次函数模型解决动点探究问题6．如图，直线y＝12x－2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．【导学号：89274025】(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D到直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出这个最大距离．(第6题)建立二次函数模型作决策问题题型1几何问题中的决策7．【中考·绍兴】课本中有一例题：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，材料总长仍为6m，如图②所示．解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积．(2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．(第7题)题型2实际问题中的决策8．【中考·武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价(万元)每件成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量(件)甲6a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元，y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式．(2)分别求出产销两种产品的最大年利润．(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．答案(第1题)1．解：(1)以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D32，0.设抛物线的表达式为y＝ax2＋c，由抛物线过点M和点B，可得a＝－54，c＝5.故抛物线的表达式为y＝－54x2＋5.当x＝1时，y＝154；当x＝32时，y＝3516.故1，154，32，3516两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝32(m)．∵32＜154且32＜3516，∴网球不能落入桶内．(2)设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得3516≤0.3m≤154，解得7724≤m≤1212.∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．2．C3．解：(1)由已知得OA＝OA1＝8m，OC＝8m，AB＝6m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－132，所以y＝－132x2＋8(－8≤x≤8)．(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－132×22＋8＝778，即D2，778，所以DE＝778m.因为778＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．(第3题)4．0.55．解：(1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF.∴CG＝BE，HG∥FC，∴四边形FCGH是平行四边形．∴FH=PCG.∴∠DFH＝∠DCG＝90°.由题意可知，CF＝BE＝a.在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，∴DH＝DF2＋FH2＝5a.(2)设BE＝x，△DHE的面积为y.依题意，得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH＝12×3a×(3a－x)＋12(3a＋x)x－12×3a×x，∴y＝12x2－32ax＋92a2，即y＝12x－32a2＋278a2.∴当x＝32a，即E是BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是278a2.6．解：(1)在y＝12x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴16a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝0，c＝－2.解得a＝－12，b＝52，c＝－2.∴抛物线的表达式为y＝－12x2＋52x－2.(第6题)(2)设点D的坐标为(x，y)，则y＝－12x2＋52x－2(1＜x＜4)．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得AC＝25.如图所示，连接CD，AD.过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，则FG＝AO＝4，FD＝x，DG＝4－x，OF＝AG＝y，FC＝y＋2.∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG＝12(AG＋FC)·FG－12FC·FD－12DG·AG＝12(y＋y＋2)×4－12(y＋2)·x－12(4－x)·y＝2y－x＋4.将y＝－12x2＋52x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.∴D(2，1)．∵S△ACD＝12AC·DE，AC＝25.∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，则DE的最大值为412AC＝412×25＝455.∴当D到直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，这个最大距离为455.7．解：(1)由已知可得AD＝6－1－1－1－122＝54(m)，则窗户的透光面积为54×1＝54(m2)．(2)设AB＝xm，则AD＝3－74xm，∵3－74x＞0，且x0，∴0＜x＜127.设窗户的透光面积为Sm2，由已知得S＝AB·AD＝x3－74x＝－74x2＋3x＝－74x－672＋97，∵x＝67在0＜x＜127的范围内，∴当x＝67时，S最大值＝97＞1.05.∴与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大．8．解：(1)y1＝(6－a)x－20，(0＜x≤200)y2＝(20－10)x－40－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40.(0＜x≤80)(2)对于y1＝(6－a)x－20，∵3≤a≤5，∴6－a＞0，∴x＝200时，y1最大值＝(1180－200a)万元．对于y2＝－0.05(x－100)2＋460，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝440万元．(3)①1180－200a＝440，解得a＝3.7；②1180－200a＞440，解得a＜3.7；③1180－200a＜440，解得a＞3.7.∵3≤a≤5，∴当a＝3.7时，产销甲、乙两种产品的最大年利润相同，可任意产销其中一种；当3≤a＜3.7时，产销甲产品的最大年利润比较高，应选择产销甲产品；当3.7＜a≤5时，产销乙产品的最大年利润比较高，应选择产销乙产品．