利用Matlab-模拟点电荷电场的分布的仿真实验报告

利用Matlab模拟点电荷电场的分布一、实验目的：1．熟悉单个点电荷及一对点电荷的电场分布情况； 2．学会使用Matlab进行数值计算，并绘出相应的图形；  二、实验原理：根据库伦定律：在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力，它们之间的力F满足：                               112ˆQQFkRR                      (式1) 由电场强度E的定义可知：                                   2ˆkQERR                      (式2) 对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为                                 RkQU                      (式3) 而                            EU                       (式4)   在Matlab中，由以上公式算出各点的电势U，电场强度E后，可以用Matlab自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况。 三、实验内容1、画单个点电荷的平面电场线与等势线 等势线就是以电荷为中心的圆簇，用Matlab画等势线更加简单。静电力常量为k=9*e9，电量可取为q=1e‐19；最大的等势线的半径应该比射线的半径小一点，00.1r。其电势为00*/ukqr。如果从外到里取7条等势线，最里面的等势线的电势是最外面的3倍，那么各条线的电势用向量表示为：0(1,3,7)*ulinspaceu。从‐r0到r0取偶数个点，例如100个点，使最中心点的坐标绕过0，各点的坐标可用向量表示：00(,,100)xlinspacerr，在直角坐标系中可形成网格坐标：[,]()XYmeshgridx。各点到原点的距离为：.^2.^2rXY，在Matlab中进行乘方运算时，乘方号前面要加点，表示对变量中的元素进行乘方计算。各点的电势为.*./Ukqr；同样地，在进行除法运算时，除号前面也要加点，同样表示对变量中的元素进行除法运算。用等高线命令,,,contourXYUu即可画出等势线。如图1所示：  图1 单个点电荷的平面电场线与等势线 其代码如下： %单个点电荷的平面电场线与等势线a=0.2;k=9*10^9;%比例常数q=1.6*10^(-19);%元电荷电量r0=0.1;%电场线起点半径theta=linspace(0,2*pi,13);[x,y]=pol2cart(theta,a);x=[x;0.05*x];y=[y;0.05*y];quiver(x,y,0.5*x,0.5*y)plot(x,y)holdonu=k*q/r0;u1=linspace(1,3,7)*u;x=linspace(-0.1,0.1,100);[X,Y]=meshgrid(x);r1=sqrt(X.^2+Y.^2);U=k.*q./r1;contour(X,Y,U,u1)title('单个点电荷的平面电场线与等势线','fontsize',20)%显示标题xlabel('r','fontsize',16)%显示横坐标ylabel('E(U)','fontsize',16)%显示纵坐标 2、画一对点电荷的平面电场线与等势线 程序代码如下： %同号点电荷对的电场线和等势线clear%清除变量q=1;%电量比（绘制不同电量比点电荷对的电场线和等势线只需改变q值即可）xm=2.5;%横坐标范围ym=2;%横坐标范围x=linspace(-xm,xm);%横坐标向量y=linspace(-ym,ym);%纵坐标向量[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置坐标网点R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2);%第一个正电荷到场点的距离R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2);%第二个正电荷到场点的距离U=1./R1+q./R2;%计算电势u=1:0.5:4;%等势线的电势向量figure%创建图形窗口contour(X,Y,U,u)%画等势线gridon%加网格legend(num2str(u'))%图例holdon%保持图像plot([-xm;xm],[0;0])%画水平线plot([0;0],[-ym;ym])%画竖直线plot(-1,0,'o','MarkerSize',12)%画第一个正电荷plot(1,0,'o','MarkerSize',12)%画第二个正电荷[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));%用电势梯度求场强的两个分量dth1=20;%左边电场线角度间隔th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180;%电场线的起始角度r0=0.1;%电场线起点半径x1=r0*cos(th1)-1;%电场线的起点横坐标y1=r0*sin(th1);%电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1)%画左上电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1)%画左下电场线dth2=dth1/q;%右边电场线角度间隔th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;%电场线的起始角度x2=r0*cos(th2)+1;%电场线的起点横坐标y2=r0*sin(th2);%电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2)%画右上电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2)%画右下电场线axisequaltight%使坐标刻度相等title('等量同号点电荷的电场线和等势线','fontsize',20)%显示标题xlabel('r','fontsize',16)%显示横坐标ylabel('E(U)','fontsize',16)%显示纵坐标txt=['电荷比:\itQ\rm_2/\itQ\rm_1='num2str(q)];%电荷比文本text(-xm,-ym-0.3,txt,'fontsize',16)%显示电荷比取1q和2q作出点电荷对的电场线和等势线如图2所示：图2 一对同号点电荷的平面电场线与等势线  3、作2ˆkQERR三维图形 （1）单个电荷的立体电场分布如图3 所示  图3单个电荷的立体电场分布 程序代码如下： %单个电荷立体电场分布k=9*10^9;q=10^(-9);r0=0.1;u0=k*q/r0;[X,Y,Z]=sphere(8);x=r0*X(:)';y=r0*Y(:)';z=r0*Z(:)';x=[x;zeros(size(x))];y=[y;zeros(size(y))];z=[z;zeros(size(z))];plot3(x,y,z);holdonu=linspace(1,3,5)*u0;[X,Y,Z]=sphere;r=k*q./u;Z(X0&Y0)=nan;fori=1:5surf(r(i)*X,r(i)*Y,r(i)*Z)endshadinginterptitle('单个电荷立体电场分布','fontsize',20)%显示标题xlabel('x','fontsize',16)%显示横坐标ylabel('y','fontsize',16)%显示纵坐标zlabel('z','fontsize',16)%显示竖坐标（2）等量同号点电荷对的电场强度分量的曲面 设两个点电荷的电量为Q，场点P(x,y)的场强的x分量为122212coscosxkQkQErr，场强的y分量为122212sinsinykQkQErr。利用三角关系得223/2223/2()()[()][()]xkQxakQxaExayxay，(6a)223/2223/2[()][()]ykQykQyExayxay。(6b)可见：Ex是x的奇函数，是y的偶函数；Ey是x的偶函数，是y的奇函数。Ex和Ey的空间分布比较复杂，需要通过曲面和曲线显示其分布规律。取E0=kQ/a2为电场强度单位，则电场强度的分量可表示为**0*2*23/2*2*23/211{}[(1)][(1)]xxxEExyxy，(6a*)**0*2*23/2*2*23/2{}[(1)][(1)]yyyEExyxy。(6b*)具体的电场强度分量的曲面如图4所示： 图4等量同号点电荷对的电场强度分量的曲面程序代码如下：%等量同号点电荷对的电场强度分量的曲面和电场强度分量的曲线簇clear%清除变量r13='((x+1).^2+y.^2).^(3/2)';%场点到左边端点的距离的三次方字符串r23='((x-1).^2+y.^2).^(3/2)';%场点到右边端点的距离的三次方字符串Ex=inline(['(x+1)./'r13'+(x-1)./'r23]);%场强的x分量内线函数Ey=inline(['y./'r13'+y./'r23]);%场强的y分量内线函数fs=16;%字体大小xm=3;%横坐标范围ym=2.5;%纵坐标范围x=linspace(-xm,xm,50);%横坐标向量y=linspace(-ym,ym,40);%纵坐标向量(绕过奇点)[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置坐标网点subplot(121);%创建图形窗口1surf(x,y,Ex(X,Y))%画曲面boxon%加框title('等量同号点电荷场强\itx\rm分量曲面','fontsize',fs)%显示标题xlabel('\itx/a','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('\ity/a','fontsize',fs)%显示纵坐标zlabel('\itE_x/kQa\rm^-^2','fontsize',fs)%显示高坐标axistight%紧贴轴subplot(122);%创建图形窗口2surf(x,y,Ey(X,Y))%画曲面boxon%加框title('等量同号点电荷场强\ity\rm分量曲面','fontsize',fs)%显示标题xlabel('\itx/a','fontsize',fs)%显示横坐标ylabel('\ity/a','fontsize',fs)%显示纵坐标zlabel('\itE_y/kQa\rm^-^2','fontsize',fs)%显示高坐标axistight%紧贴轴四、实验总结由于电场看不见，摸不着，它不像普通的“三态”物质那样由原子、分子构成，也没有可见的形态，但其具有可以被检测的运动速度、能量和动量，占有空间，是一种真实的客观存在。实验中通过仿真软件MATLAB绘出的电场（或电势）的分布图，让我们对电场这种物质有了更深的感性认识，用MATLAB画出的立体图也更有利于对电场的理解，对于对应知识的理解和吸收有很大的帮助。     在以前的学习中，我仅只是使用MATLAB的数值计算的功能，通过这个实验，对于MATLAB强大的仿真功能有了更加深刻的了解，为深层次的学习此软件开了一个很好的头。通过MATLAB画出的电场线和等势线能加深我们对电场的了解，在画图的过程中，我明白了当两个电荷电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的，当两个点荷电量不相等时，电场线和等势线对中垂线是不对称的，但是电场线和等势线仍是垂直的。 最后，衷心地感谢李老师和朱师兄在实验中给予的指导！