试谈初中数学中的转化思想

试谈初中数学中的转化思想居巢区黄麓镇中心学校许大庆二○○七年三月十五日试谈初中数学中的转化思想数学思想是数学的生命和灵魂，是数学内容的进一步的提炼和概括，是对数学内容的本质认识。数学思想是数学发现、发明的关键和动力，更是提高数学解题能力的根本所在。因此在教学中要注意向学生渗透这种数学思想，培养学生用数学思想方法解决问题的意识。初中数学的主要思想是方程思想、转化思想、分类思想、函数思想、建模思想、数形结合思想等。本文重点是谈转化思想。那么什么是转化思想？所谓转化思想，通常是将未知问题转化为已知问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎无处不在。一、转化思想在实践教材中的体现。在数与式这一块处处体现着这种数学思想，如：有理数的减法就是利用“相反数”这一概念，转化为加法来去处，得到减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。这一转化使得加减法得到统一。有理数的除法就是利用“倒数”这一概念转化为乘法来去处，得到了除法法则：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。从而使得乘除法得到了统一。从代数式的角度看整式是基础，分工问题在许多情况下都是通过转化为整式问题去解决。如解分式方程就是通过去分母将分式方程转化为整式方程。在方程中，最基础的方程是一元一次议程，出现多元议程，通过加减消元或代入消元，逐步转化为一元方程，如果是二次或高次方程，通过配方或因式分解将高次转化为低次，最后转化为一元一次方程。这种转化实现了从复杂向简单的转化。在几何学习中转化思想也无处不在，任何一个新的定理的证明都要高潮转化为已学过和公理或定理去解决。如学习了“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个公理后，紧接着：若两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，那么这两条直线平行吗？若平行，试说出理由。它的说理过程，就是由内错角相等，转化到同位角相等，通过同位角相等，来肯定这两条直线平行，如果学生不能理解和领会这种数学思想，就不知从何处入手。三角形是直线型的基础，许多图形的面积计算都是转化到三角形的面积计算，就连圆上的有关计算都是转化为直角三角形去解决。又如多边形的内角和的计算，其实质还是转化到三角形内角和，通过三角形内角和去解决。又如数是一个抽象概念，温度是多少度，这筐水果有多少斤，人们发明了温度计、秤，把抽象的概念通过直观的世界去表达，产生了数轴。又如统计表转化为统计图，达到了数与形的完美结合。二、转化思想在解题中的应用。例1.一跳蚤在一直线上从O点开始，第一次向右跳1个单位，紧接着向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是单位。例2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值是。分析：利用轴对称把PC+PD的最小值转化为两点间距离，因为两点间线段最短，所以连接AC交MN于P点，再连接PD，PD+PC＝AC，求出AC长即可。例3．如图，蚂蚁在棱长为a的立方体顶点A处，要吃到位于棱CG上的中点P处的食物，问A到P的最短路径是多少？分析：它有多种走法，但最近线路还是把在两个面上的问题转化为一个面，利用两点之间，线段最短，将特殊问题转化为一般问题去解决。例4.如图，蚂蚁位于底面半径为r，母线长为1的圆柱下底面A处，要吃到位于P处的食物，求最短路径的长。分析：将圆柱沿母线AC展开将曲面问题转化为平面问题，再利用两点之间，线段最短，将特殊问题转化为一般问题去解决。例5.计算：21+（4341）+（656361）+…+（983981+…+9897）.解：设原式＝S，将每个括号内的分数倒序排列可得：S＝21+（4143）+（616365）+…+（9897+…+981983）将以上两式对应各项相加，可得：2S＝1+2+3+4+……49＝125，PNMDCBAFEHGDCBA∴S＝612.5，即原式＝612.5。本题就是运用转化思想，通过倒序相加转化成求自然数的和，使问题简捷获解。三、初中数学中转化思想的培养。《数学课程标准》中指出，数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。”因此我们在中学数学教学中，应当结合具体的内容，渗透数学转化思想，有意识地培养学生会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。1．理解认识，逐步渗透转化意识前面已经谈到转化思想在教材中的体现，我们要通过数学教学，不断地让学生了解、认识数学的转化思想，逐步渗透这种意识。例如：我在有理数除法教学中，先提供这样的一组填空：⑴×（-4）＝8；⑵×6＝-36；⑶×（-53）＝-2512；⑷×9＝-72；⑸8×（-41）＝；⑹-36×61；⑺-2512×（-35）＝；⑻-72×91＝。由⑴得8÷（-4）＝-2，再与⑸相比较，8÷（-4）＝8×（-41），同理，-36÷6＝-36×61，-2512÷（-53）＝-2512×（-35），-72÷9＝-72×91。观察以上四式，你发现有什么变化规律？左边是什么运算？右边又是什么运算？通过这组等式，逐步认识转化思想，让学生明白了转化法的应用，鼓励、点拨学生实现有理数除法转化到有理数乘法，学生在充分感知中明确算理，在探索中逐步掌握了算法，同时加深了对转化方法应用的认识。2.尝试运用，体验数学转化方法。学生在学习过程中的进步与反复、成功与失败、变化与发展都是他们不断自我体验、自我实现的过程。因此让学生尝试运用转化法，体验成功是关键的一步。在尝试运用中，学生主动参与，不拘泥于教材或教师，从自身知识基础与经验出发，把新知转化成旧知，建立新旧知识的内在联系，促进新知识结构的建立，进而主动地理解和掌握转化方法，提高数学的能力。例如：我在教梯形的中位线时，先让学生通过连线或割补转化为三角形的中位线去分析。学生在不预习教材的情况下（防止被教材束缚思路），进行小组合作，积极探索，得出如下转化方法：⑴连接梯形的一条对角线得到两个三角形；⑵采用割补的方法，运用全等三角形把梯形转化为一个三角形；⑶利用三角形全等把梯形问题转化为平行四边形。FEEABCDMNABCDMNNMDCBA对上述方法进行比较：利用后两种方法比较容易得出梯形中位线定理，完成了问题的转化，体验到成功的喜悦，从而培养了学生的转化意识，增强了他们运用“转化”这一数学思想解决新问题的信心。3.大胆创新，形成转化数学思想。《数学课程标准》指出：数学的学习是为了让学生“面对实际问题能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。”学生只有在解决日常实际问题中，能力才能真正得到提高。如历史上曹操要让大臣去称一头大象的重量。那时的条件所限，直接称是无法进行的，请同学们设计称重的方案。学生的回答可谓精彩纷呈。有的说把大象杀了称，有的说用大吊车，有的说过地磅称，有的同学看过历史书，说：“把大象放到船上，看看船的吃水线，并做上记号，再把大象拉上来，然后搬石头上船，等船的吃水线达到载大象时的吃水线时，把所有的石头一一去称，它们的重量总和就是大象的重量。”这样，就把不能分割的大象的重量转化成了可以侵害的石块的重量的和。从而解决了问题。转化思想是学习新知和解答一些比较复杂题目的重要思维方法和重要的解题思路之一，在教学中，如果能结合具体的教学内容，穿插一些数学转化思想的训练，有意识培养学生的“转化”能力，不但可以较顺利地解决一些较难的题目，还可以通过“转化”思想，使学生能运用多种方法解决同一个问题，以达到提高学生学习兴趣、拓宽知识面的目的，更为重要的是用“转化”思想的教学方法，在教会学生新知识的同时，进一步强化了对原有基本知识的理解和与其相关联知识的认识，扩展了学生对知识的认识视野，在一定程度上起到开发学生的理性思维能力和学习潜能的效果，对培养学生的创新意识和探索精神走着良好的作用。