现代光学习题

未校对，不保证正确性，仅供参考1.1一列波长为λ的平面波，振幅为A，传播方向平行于xOz平面并与z轴夹角30°，写出其三维振幅表达式及在z=z1平面内的复振幅空间频率表达式，并求复振幅分布在x和y方向上的空间周期和频率。解：∵传播方向平行于xOz平面并与z轴夹角30°∴α=60°，β=90°，γ=30°∴U(x，y，z)=Aexp(i2π/λ×(xcosα+ycosβ+zcosγ))=Aexp(iπ/λ×(x+30.5z))∴在z=z1平面内的复振幅空间频率表示为ξ=(cosα)/=0.5/λ，η=(cosβ)/λ=0，ζ=(cosγ)/λ=0.5×30.5/λ∴U(x，y，z)=A×exp(iπ/λ×30.5z1))×xp(iπx/λ)故分布在x方向和y方向上的空间频率和周期分别为：ξ=0.5/λ，η=0，Λx=2λ，Λy=01.3轴外点光源Q(x0,y0,z0)发出一系列球面光波，试写出它在z=z1(z1z0)平面上的复振幅表达式。若规定光波总是自左向右传播，试分析上述光波的相位共轭光波特征。解：复振幅表达式：U(x,y)=a0/r×exp(ikr)r=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z1-zo)2]0.5相位共轭光波的复振幅为U(x,y)=a0/r×exp(-ikr)特征：相位间隔为2π的等相位面是一组等间距的同心球面，光波场中个点的振幅与该点到球心的距离成反比，且该光波从外向里会聚传播，中心点为光源Q点。补充题1：设F(ξ,η)和f(x,y)构成傅里叶变换对，试问F(ξ,0)和f(x,0)是否也构成傅里叶变换对？解：F(ξ,0)=∫[∫f(x,y)dy]exp(-i2πξx)dxFT{f(x,0)}=∫f(x,0)exp(-i2πξx)dx对比两式一般不相等，故其不成立当f(x,y)为可分离变量函数时，结果如何？F(ξ,0)=∫[fx(x)exp(-i2πξx)]dx×∫fy(y)dyFT{f(x,0)}=∫fx(x)exp(-i2πξx)dx×fy(0)对比两式一般不相等，故其不成立2.12给定函数f(x)=exp(iϕ(x))，其傅里叶变换F(ξ)=FT{f(x)}。证明：①FT{cosϕ(x)}=0.5[F(ξ)+F*(-ξ)]②FT{sinϕ(x)}=0.5i[F*(-ξ)-F(ξ)]证明：①F(ξ)=FT{f(x)}=∫exp(iϕ(x))exp(-i2πxξ)dx∴F*(-ξ)=∫exp(-iϕ(x))exp(-i2πxξ)dx又cosϕ(x)=0.5[(exp(iϕ(x))+exp(-iϕ(x)))]∴FT{cosϕ(x)}=0.5∫[exp(iϕ(x))exp(-i2πxξ)+exp(-iϕ(x))exp(-i2πxξ)]dx=0.5[F(ξ)+F*(-ξ)]又sinϕ(x)=(1/2i)×[(exp(iϕ(x))-exp(-iϕ(x)))]∴FT{sinϕ(x)}=(1/2i)×∫[exp(iϕ(x))exp(-i2πxξ)-exp(-iϕ(x))exp(-i2πxξ)]dx=0.5i[F*(-ξ)-F(ξ)]补充题2：图示孔径由两个相同的圆孔组成，它们的半径都为a，中心距为d，采用单位振幅的单色平面波垂直照射。求出相距空z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光强分布。解：U(x0,y0)=circ((x02+(y-d/2)2)0.5/a)+circ((x02+(y+d/2)2)0.5/a)U(x,y)=exp(ikz)exp(ikr2/2z)/iλz×BT{circ((x02+(y-d/2)2)0.5/a)+circ((x02+(y+d/2)2)0.5/a)}|ρ=r/λz=exp(ikz)exp(ikr2/2z)/iλz×{a2×J1(2πra/λz)/(ra/λz)exp(2πy/λz)[exp(-1.5id)+exp(0.5id)]}=exp(ikz)exp(ikr2/2z)×(4πa2/iλz)cos(πdy/λz)J1(2πra/λz)/(2πra/λz)I(x,y)=U(x,y)U*(x,y)=(4πa2/λz)2[J1(2πra/λz)/(2πra/λz)]23.1在瑞丽-索末菲衍射理论中，采用下列格林函数G+=exp(ikr)/r+exp(ikr’)/r’①证明G+在衍射屏上法线方向的导数为零②如果要利用G+导出衍射场中P点的复振幅U(P)和衍射孔上的复振幅分布的关系，需要用什么样的边界条件？解：①∂G+/∂n=∂(exp(ikr)/r)/∂n+∂(exp(ikr’)/r’)/∂n=cos(n,r)(ik-1/r)exp(ikr)/r+cos(n,r’)(ik-1/r’)exp(ikr’)/r’∵P点和P’为镜像关系∴cos(n,r)=-cos(n,r’)；r=r’∴∂G+/∂n=0即G+在衍射屏上法线方向的导数为零②由上面可知r=r’∴G+=2exp(ikr)/r∴U(P)=1/4π×∬S1+S2_[2exp(ikr)/r×∂U/∂n]ds上式积分中包含∂U/∂n，不包含U，所以只需要对∂U/∂n应用基尔霍夫边界条件即可。即：①在透光孔面∑上光场的复振幅U和微商∂U/∂n与没有屏幕时完全相同②在屏幕的背光面上，光场的复振幅U和微商∂U/∂n恒为零3.3如图所示的衍射屏被单位振幅的单色光平面波垂直入射照明①求其夫琅和费衍射的复振幅分布和强度分布②求其互补屏的夫琅和费衍射，并验证巴比涅原理解：①U(x0,y0)=circ((x02+y02)0.5/R2)-circ((x02+y02)0.5/R1)=circ((x02+y02)0.5/R2)-circ((x02+y02)0.5/R1)∴=exp(ikz)exp(ikr2/2z)/iλz×BT{circ(r/R2)-circ(r/R1)}|ρ=r/λz=exp(ikz)exp(ikr2/2z)/iλz×[R22J1(2πrR2/λz)/(2πrR2/λz)-R12J1(2πrR1/λz)/(2πrR1/λz)]∴I(x,y)=U(x,y)U*(x,y)=(2π/λz)2[R22J1(2πrR2/λz)/(2πrR2/λz)-R12J1(2πrR1/λz)/(2πrR1/λz)]2②互补屏的透射系数t=1-circ(r/R2)+circ(r/R1)∴U’(x,y)=exp(ikz)exp(ikr2/2z)/iλz×BT{1-circ(r/R2)+circ(r/R1)}|ρ=r/λz=exp(ikz)/iλz×[δ(r)-U(x,y)]当无屏是透射系数t=1∴U0(x,y)=exp(ikz)/iλz×δ(r)∴U’(x,y)+U(x,y)=U0(x,y)巴比涅原理得证补充题3：一个边长为a的方孔，放在焦距为f的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜的光轴，用波长为λ的单色平面波垂直入射照射。求透镜后焦面上的光场复振幅分布和光强分布。如果孔中心与光轴的距离为b，结果又如何？解：设照明平面波振幅为1，有：A(ξ,η)=FT{1}=δ(ξ,η)又输出面位于透镜后焦面上∴q=f，q-f=0，∴E(ξ,η)=δ(ξ,η)∴U(ξ,η)=cexp(iπλ(f-d)(ξ2+η2))T(ξ,η)∵t(x0,y0)=rect(x0/a,y0/a)∴T(ξ,η)=a2sinc(aξ,aη)∴U(ξ,η)=ca2sinc(aξ,aη)∴U(x,y)=ca2sinc(ax/λf,ay/λf)I(x,y)=U(x,y)U*(x,y)=c2a4sinc2(ax/λf,ay/λf)当孔中心与光轴的距离为b时：t(x0,y0)=rect[(x0-b)/a,y0/a]∴T(ξ,η)=a2sinc(aξ,aη)exp(i2πbξ)∴U(ξ,η)=ca2sinc(aξ,aη)exp(i2πbξ)I(x,y)=U(x,y)U*(x,y)=c2a4sinc2(ax/λf,ay/λf)透镜后焦面上光场复振幅相位发生变化，但光强分布不变。3.6一物的振幅透射系数t(x,y)=0.5(1+cos(2πξ1x))用单位振幅的单色平面波垂直入射照明，通过衍射受限系统成像，若ξ1小于系统相干传递函数的截止频率。①求理想成像平面的光强度分布②证明在距离像平面为d=2j/λξ1(j=1,2,3,…)的一系列平面上光强分布相同解：①设U0为紧贴物体平面上的光场复振幅分布，Ui为理想平面上的光场复振幅分布，h为该系统的点扩散函数，由于位振幅的单色平面波垂直入射照明，有：h=1/M×exp(ik(xi2+yi2)/2di)×exp(ik(x02+y02)/2d0)×δ(x0+xi/M,y0+yi/M)∴Ui(xi,yi)=u0∗h=1/2M×exp(ik(xi2+yi2)/2di)×exp(ik(x02+y02)/2d0)×∴I(xi,yi)=1/4M2×[1+cos(2πξxi/M)]2②当观察面选在未聚焦平面时，其复振幅分布相当于理想平面光场分布继续传播到像离焦平面，假设该离焦平面距理想平面为z，由菲涅尔衍射在频率场的关系：Gi’(ξ,η)=Gi(ξ,η)H(ξ,η)其中Gi(ξ,η)=0.5δ(ξ,η)+0.25δ(ξ-ξ1,η)+0.25δ(ξ+ξ1,η)H(ξ,η)=exp(ikz)exp(-iπλz(ξ2+η2))∴Gi’(ξ,η)=exp(ikz)[0.5δ(ξ,η)+0.25exp(-iπλzξ12)[δ(ξ-ξ1,η)+δ(ξ+ξ1,η)]]可得Ui‘(xi’,yi’)=exp(ikz)[0.5+0.5exp(-iπλzξ12)cos(2πξ1xi’)]当d=2j/λξ1时，πλzξ12=2nλ，exp(-iπλzξ12)=1∴Ui‘(xi’,yi’)=Ii‘(xi’,yi’)=0.25(1+cos(2πξ1xi’))2即在距离像平面为d=2j/λξ1(j=1,2,3,…)的一系列平面上光强分布相同3.7一个衍射受限的相干成像系统的光瞳是边长为L’的正方形，若在其光瞳中心放置一个边长为L的不透明正方形屏，试画出相干传递函数H(ξ,0)的图形。解：衍射受限系统的光瞳函数P(x,y)=rect(x/L’,y/L’)-rect(x/L,y/L)∴相干传递函数H(ξ,η)=P(λdiξ,λdiη)=rect(λdiξ/L’,λdiη/L’)-rect(λdiξ/L,λdiη/L)∴H(ξ,0)=rect(λdiξL’)-rect(λdiξ/L)3.8一个衍射受限相干成像系统的光瞳是直径为d的圆，若在其光瞳中嵌入一直径为d的不透明半圆形屏，使求相干传递函数H(ξ,0)和H(0,η)的表达式。解：P(x,y)=circ((x2+y2)0.5/(d/2))-step(y)∴H(ξ,η)=P(λdiξ,λdiη)=circ((ξ2+η2)0.5/(d/2λdi))-step(λdiη)∴H(ξ,0)=circ(ξ/(d/2λdi))H(0,η)=circ((η/(d/2λdi))-step(λdiη)3.10镜头直径D=2mm，焦距f=7mm的相机拍摄2m远处相干光照明物体的相片，求照相机的相干传递函数及像的截止频率，设照明波长λ=500nm。若被成像物体是周期为d的矩形光栅，问当d分别为0.4mm，0.2mm和0.1mm，像的强度分布情形大概是怎样的。解：光瞳函数P(x,y)=circ((x2+y2)0.5/(D/2))∴H(ξ,η)=P(λdiξ,λdiη)=circ((ξ2+η2)0.5/(D/2λdi))像的截止频率ρimax=(ξ2+η2)0.5max=D/2λdi由物像关系：1/L+1/di=1/f得di=Lf/(L-f)=7.25cm∴ρimax=D/2λdi=275.9mm-1物大小是像大小的L/di倍，所以物的截止频率ρomax=L/di×ρimax=10mm-1因为周期为d的矩形光栅基频为1/d，n级频率分量的频率为n/d，只有频率小于ρomax的频率分量才能传递到像面，即n≤dρomax①d=0.4mm时，dρomax=4，∴0,±1,±2,±3,±4级频率分量参与成像，