谈十七道高考数学题的感想

谈十七道高考数学题的感想数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。就数学本身的定义而言就十分的抽象，也因此数学这门学科是很多学生最头疼的科目，因为不具体，很难用语言来形容，几乎都是一些公式、定理，导致数学在很多同学的眼中是一门很难以理解的学科。但是不可否认的的是，学好数学的同学，他的逻辑思维、形象思维和创新思维都有着一定程度上的提高。社会的发展，科学技术的发展，以及教育的发展都实实在在的说明着数学的地位也在逐步的提高，而数学也在不断的发展着。在教育中，高考是检验教育成果的一个重要指标，而数学在高考中的重要地位也是显而易见的。而高考中的数学题也有着其独特性和前瞻性，高考中数学这门学科考查了学生观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎证明、反思建构等思维品质和提出问题、分析问题以及解决问题等数学能力。在数学教学论这门课上，我们这群数学系师本班是大学生们又再一次重温了当初做高考题的感觉，从第一节上到目前，不知不觉中也做了十七道高考数学题，很受打击的是，对于数学系的我们而言，再重拾高考数学题发现我们居然遗忘了许多的数学知识，在解题时发现曾经熟悉的知识点都不记得了，因此也说明了数学这门学科是要一直训练的。在十七道高考题中，以下这几题是空间几何题：例题1如图四棱锥，PABCD中，PAABCD底面.四边形ABCD中，,ABCD4,2,45.ABADCDCDA()IPABPAD平面平面；()II设()AB=APII.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点,,,PBCD的距离相等？说明理由.PAEDBC例题4如图，在三棱柱111ABCABC中，H是正方形11AABB的中心，122AA，1CH平面11AABB，且15.CH（Ⅰ）求异面直线AC与11AB所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111AACB的正弦值；（Ⅲ）设N为棱11BC的中点，点M在平面11AABB内，且MN平面11ABC，求线段BM的长．PABCDE例题11如图，三棱柱ABC—A1B1C1，侧棱与底面垂直，P，Q分别是棱BB1，CC1上的点，AB⊥A1Q，.6,3,321ABAAAC（1）求证：AC⊥A1P；（2）若M是PQA1的重心，AM⊥面A1PQ，求平面A1PQ与面BCC1B1所成角（锐角）的余弦值。例11例12例题12下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDEC，（1）求证：BE//平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；（3）若2PDAD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．上面四道题考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，这也是每年高考的必考内容，以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，也考查了空间中两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的求解等。而这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，而是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算。因此在解空间几何时也是要熟记公式、定理，因为一个小小的符号错误就会导致最后答案的错误。我从四道题中总结了空间几何的一些解题方法：（1）解题时用运用好数学语言来答题，不要用不适当的语言来解题；（2）要善于运用所给的空间图形，证明平行时可寻找中位线（有时候线段中会有隐藏的中点），证明垂直时可以运用条件中的线面垂直和面面垂直以及图形中隐含的垂直关系；（3）空间中求“角”时可以利用图形中的平行垂直关系，这时很考验学生观察发现能力，要观察、发现是否有现成的角可以直接用。注：①平面与直线所成角的范围为[0,π]；②以最有效的起点来做空间直角坐标系，尽量将题目中所给出的条件运用上。空间几何考查了学生观察发现、空间想象、抽象概括、演绎证明和运算求解等能力，因此在教学是要注意培养学生的观察能力、运算求解能力和抽象思维。在教学过程中，要培养学生观察的准确性，比如在求空间几何的二面角时，要找准各平面的法向量，观察的结果一定要与事物相符合。还有就是在平常的练习中，要引导性的训练学生的运算求解能力，要注意公式、法则的逆用和公式的变形应用等，空间几何中如果运用向量法时计算量也是算很大的，而且也很考查公式的运用。在十七道高考题中，以下这几题是关于函数的：例题2已知0a，函数2()ln,0.fxxaxx（()fx的图像连续不断）（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当18a时，证明：存在0(2,)x，使03()()2fxf；（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的,，且1，使()()ff，证ln3ln2ln253a．例题5已知函数1()ln(1),(1)nfxaxx其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当2n时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，证明：对任意正整数n，当2x时有()1.fxx例题6设函数2()ln()fxxax（I）若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性；（II）若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．例题9已知函数211()24fxxx，()fx为函数()fx的导函数．（Ⅰ）若数列{}na满足：11a，1()()nnafafn（nN），求数列{}na的通项na；（Ⅱ）若数列{}nb满足：1bb，12()nnbfb（nN）．（ⅰ）当12b时，数列{}nb是否为等差数列？若是，请求出数列{}nb的通项nb；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b时，求证：11221niibb．例题10已知函数.11)(axexxxf（Ⅰ）设0a，试讨论)(xfy的单调性；（Ⅱ）若对任意axfx求恒有,1)()1,0(的取值范围。例题13已知,ab是实数，函数32(),(),fxxaxgxxbx()fx和()gx分别是()fx和()gx的导函数.若()()0fxgx在区间I上恒成立，则称()fx和()gx在区间I上单调性一致.（1）设0,a若()fx和()gx在区间[1,)上单调性一致，求b的取值范围；（2）设0a且ab，若()fx和()gx在以,ab为端点的开区间上单调性一致，求ab的最大值.以上几道高考题综合考查了函数、导数、极值、单调性、连续性，还有就是函数与不等式相结合的考查。在考查函数单调性时，有时还要注意分类讨论的思想原则，如果解析式中含有字母参数（例如例题10），使得题目所考查的知识内容除了函数与导数还涉及了不等式的内容，这是高考题中一种考查综合性的体现。在做函数的题目时，要注意第一步的求导不能出错，否则这可是“牵一发而动全身”，接下来就算解题思路是对的，但是整到题目还是会失分。函数的一般解题技巧是：（1）熟记特殊函数的求导（例如㏑x=1/x）；（2）熟悉掌握基本初等函数的图像和性质；（3）判断函数的单调性与求函数的最(极)值时，要注意是否需要分类讨论；（4）有时候可以构造简单的函数来解决复杂的函数。函数这一块主要考查了学生运算求解、反思构建、演绎证明和归纳类比的能力。在教学中，我认为最主要的是要做好学生的基础训练，如果基础技能都不过关又谈何解题呢？函数的题目是十分灵活的题目，它可以与许多的知识点相结合进行考查，因此掌握基础知识很重要，毕竟万变不离其宗。如果题目所给的函数是十分复杂的话，那么函数的计算也是十分艰巨的一个任务，所以在日常教学中还要注重学生运算能力的培养。我认为函数是一个十分抽象的知识，所以在日常教学中，应该把函数和图像相结合，从直观中引发抽象，更加方便学生进行记忆，也方便学生了解函数的一些特殊性质（例如单调性、最值等）。在十七道高考题中，以下这几题是关于曲线的：例题7已知曲线11(0)xyCabab：所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C的内切圆半径为253．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆2C的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆2C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．(ⅰ)若MOOA（O为坐标原点），当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；(ⅱ)若M是l与椭圆2C的交点，求AMB△的面积的最小值．例题8已知直线220xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，,ASBS与直线10:3lx分别交于,MN两点。（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由例题14已知动直线l与椭圆22:132xyC交于1122(,),(,)PxyQxy两不同点，且OPQ的面积6,2OPQS其中O为坐标原点.（1）证明：2212xx和2212yy均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（3）椭圆上是否存在三点DEG、、，使得6?2ODEODGOECSSS若存在，判断三角形DEG的形状；若不存在，请说明理由.例题15已知函数ln().1axbfxxx曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230.xy()I求,ab的值；()II如果当0x，且1x时，ln(),1xkfxxx求k的取值范围.以上几题考查了高考中的一个“重头戏”——圆锥曲线，在高考中曲线一般考查椭圆、双曲线、抛物线或者一般的曲线，以上的题目主要考查了圆锥曲线的定义、标准方程、焦点、常见的几种距离的求解，还有就是题目给出直线，考查直线与曲线的交点问题。圆锥曲线在高考中一般都是最后一题或者倒数第二题，从其出现的位置不难看出在高考的数学试卷中圆锥曲线占有很大的比重，而其所显现出来的难度也很大。因此在解题的时候切勿急躁，从基础入手掌握解题技巧。我认为在圆锥曲线的解题过程中很重要的是数形结合的思想，将抽象的问题具体化有利于对题目的认识，在解题过程中，圆锥曲线经常涉及方程的求解，所以这时候要灵活运用韦达定理，尤其是当圆锥曲线与不等式相结合时。还要灵活运用圆锥曲线的定义和性质来解答问题，特别是遇到与焦点弦有过的问题。圆锥曲线考查了学生观察发现符号表示、运算求解、演绎证明、反思建构等思维能力。在数学教学工作中，圆锥曲线是一个很难的点，因为圆锥曲线的难度很大而且很抽象，学生一般很难以理解。所以在圆锥曲线的讲解时要通过图形来进行，数形结合，更加方便学生的理解和吸收。圆锥曲线在计算这一块的难度也很大，所以这一块的训练也是要加强的，同时也要强调让学生解题时小心谨慎。还有就是灵活运用圆锥曲线的基础知识来解答负责问题，圆锥曲线的题目出的很灵活，因此教学过程中也是要灵活教学。