2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．1+2i1-2i=()A．-45-35iB．-45+35iC．-35-45iD．-35+45i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=ex-e-xx2的图像大致为()解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x0,f(x)0,排除D,取x=2,f(2)=e2-e-241,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y=±2xB．y=±3xC．y=±22xD．y=±32x解析：选Ae=3c2=3a2b=2a6．在ΔABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，则AB=()A．42B．30C．29D．25解析：选AcosC=2cos2C2-1=-35AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=427．为计算S=1-12+13-14+……+199-1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：选B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．112B．114C．115D．118解析：选C不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C102=1159．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．15B．56C．55D．22解析：选C建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π解析：选Af(x)=2cos(x+π4),依据f(x)=cosx与f(x)=2cos(x+π4)的图象关系知a的最大值为π4。11．已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50B．0C．2D．50解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=212．已知F1，F2是椭圆C:x2a2＋y2b2＝1（ab0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14解析：选DAP的方程为y=36(x+a),∵ΔPF1F2为等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,过P作PH⊥x轴，则∠PF2H=600,∴|F2H|=c,|PH|=3c,∴P(2c,3c),代入AP方程得4c=a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．解析：y=2x14．若x,y满足约束条件x+2y-5≥0x-2y+3≥0x-5≤0,则z=x+y的最大值为__________．解析：915．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________．解析：-12两式平方相加可得16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若ΔSAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=2r,又SA，SB所成角的正弦值为158,则12×2r2×158=515∴r2=40,S=π×r×2r=402三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y^=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y^=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^=99+17.5×9=256.5(亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y^=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19．（12分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=k(x-1)y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+160，故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.因此l的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则y0=-x0+5(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16解得x0=3y0=2或x0=11y0=-6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值．PAOCBM解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23.连结OB.因为AB=BC=22AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP→=(0,0,23)取平面PAC的法向量OB→=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0a≤2)，则AM→=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).则2y+23z=0ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4),3a,-a)，所以cosOB→,n=23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2.由已知得|cosOB→,n|=32.∴23|(a-4)|23(a-4)2+3a2+a2==32解得a=-4（舍去），a=43.所以n=(-833,433,-43).又PC→=(0,2,-23)，所以cosPC→,n=34.所以PC与平面PAN所成角的正弦值为34.21．（12分）已知函数f(x)=ex-ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；（2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．【解析】（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0．设函数g(x)(x2+1)e-x-1，则g′(x)=-(x-1)2e-x．当x≠1时，g′(x)0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．（2）设函数h(x)=1-ax2e-x．f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点．（i）当a≤时，h(x)0，h(x)没有零点；（ii）当a0时，h′(x)=ax(x-2)e-x．当x∈(0,2)时，h′(x)0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)0．所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．故h(2)=1-4ae2是h(x)在[0,+∞)的最小值．①若h(2)0，即ae24，h(x)在(0,+∞)没有零点；②若h(2)=0，即a=e24，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③若h(2)0，即ae24，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x0时，ex=x2，所以h(4a)=1-16a3(e2a)21-16a3(2a)4=1-1a0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点．综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=e24．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=1+tcosαy=2+tsinα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直