考研概率论试题(数一,数三)

考研概率论试题（数一，数三）题目：(87,2分)设在一次试验中A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为1(1);np而事件A至多发生一次的概率为。知识点：伯努利概型解答：根据伯努利概型的概率计算公式，A至少发生一次的概率1P{A发生0次}=11111553353238120而P{A至多发生1次}=P{A发生0次}+P{A恰发生1次}=000111(1)(1)nnnnCppCpp=1(1)(1)nnpnpp题目：(87,2)三个箱子,第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白000111(1)(1)nnnnCppCpp球的概率等于53120，已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为2053.知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用解答：记iA{取的是第i个箱子)(i=1，2，3)，B={从箱子中取出的是白球)，那么1231()()()3PAPAPA112233()()()()()()()PBPAPBAPAPBAPAPBA,22()()()PABPABPB,35()8PBA第一问由全概率公式，得112233()()()()()()()PBPAPBAPAPBAPAPBA=11111553353238120第二问由贝叶斯公式，得22()()()PABPABPB=22112233()()()()()()()()PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA=11203253531201120325353120题目：(87,6分)设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为1,01()0,Xxfx其他,0()0,0yYeyfyy求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.知识点：二维随机变量（连续型）函数的分布答案：2001()(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ解答：用“积分转化法”计算，因为(2)(,)hxyfxydxdy=1120002(2)()yzxxdxhxyedydxhzeedz=212220020(())(())zzxzxhzeedxdzhzeedxdz=2202(()(1)()(1)22zzzeehzedzhzedz所以2001()(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ题目：(87,2分)已知连续型随机变量X的概率密度为2211()xxfxe,则EX=1,DX=12知识点：正态分布的密度，期望和方差解答：因2(1)1221()()122xfxexR,可见1(1,)2XN,故1()1,()2EXDX.题目：(88,2分)设三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率为13.知识点：伯努利概型解答：设在每次试验中A出现的概率为户．则19271927P{A至少出现1次)=1一P{A出现0次}=0030331(1)1(1)Cppp，解答：得13p。题目：(88,2分)在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于65”的概率为1725.知识点：几何概型解答：设这两个数为x和y，则(x，y)的取值范围为图1—1中正方形G，那么满足“两数之和65”即“x+y56”的(x，y)的取值范围为图1-1中阴影部分D．本题为等概率型几何概率题，所求概率为DpG的面积的面积DpG的面积的面积.而G的面积为l，D的面积为2110.82=0.68,故0.68p.题目：(88,2分)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布上.已知221(),(2.5)0.99382uxxedu，则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为0.9876.知识点：正态分布的概率计算解答：由题意，2(10,0.02),XN故10(0,1)0.02XN,因此9.95101010.0510(9.9510.05)()0.020.020.02XPXP=(2.5)(2.5)2(2.5)1=0.9876题目：(88,6分)设随机变量X的概率密度函数为21()(1)Xfxx,求随机变量Y=1-3X的概率密度函数()Yfy.解答：：263(1)[1(1)]yyyR知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布。解答：31yx的饭函数3()(1)xhyy单调，故32()(()()((1)3(1)(1)YXXfyfhyhyfyy=263(1)[1(1)]yy()yR.题目：(89,2分)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则和事件AB的概率P(AB)=0.7.知识点：条件概率解答：：由0.8()()()PABPBAPA，得()()()PABPBAPA()0.8()0.80.50.4PABPA故()()()()0.50.60.4PABPAPBPAB=0.7题目：(89,2分)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为34.知识点：条件概率定义式，时间和概率计算和独立性的应用。解答：记A={甲命中目标)，B={乙命中目标}，C=(目标被命中)．则由题意，知()0.5PB，()0.5PB，A与B独立，且,CABACA,从而()()()0.75()()PACPAPACPCPC题目：(90,2分)设随机事件A,B及其和事件AB的概率分别是0.4,0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=0.3.知识点：概率的性质解答：：由已知得0.6()()()()0.40.3()PABPAPBPABPAB0.6()()()()0.40.3()PABPAPBPABPAB即()0.1PAB.故()()()()PABPABPAPAB()()()()PABPABPAPAB=0.3题目：(90,2分)已知随机变量X的概率密度函数||1()2xfxe,x,则X的概率分布函数102()11,02xxexFxex当当知识点：密度求分布函数的公式解答：1()()2xxtFxftdtedt。当0x时，111()222xttxxFxedtee；当0x时00111()1222xttxFxedtedte题目：(90,2分)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,且胡机变量Z=3X-2,则EZ=4.知识点：期望的性质和泊松分布的期望题目：(90,6分)设二维随机变量(X,Y)在区域D：0X1,|y|x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差DZ.知识点：边缘分布的计算和方差的性质，计算解答：D的面积（见图4-1）为212112，故（X,Y）的概率密度为1,(x,y)(,)0,Dfxy其他关于X的边缘概率密度为()(,)Xfxfxydy当01xx或时，()0Xfx当01x时，()12xXxfxdyx故2,01(,)0,xxfxy其他因而102()23EXxxdx，12201()22Exxxdx所以1()18DX2()(21)9DZDX题目：(91,3分)随机地向半圆0y22axx(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比.则原点与该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为112.知识点：几何概率解答：记图1-2中半圆区域为G，阴影部分区域为GS和DS,则222111a242GDSSaa，222111a242GDSSaa，，所求概率为112DGSS.题目：(91,6分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(2)20,0(,)0,xyexyfxy其他求随机变量Z=X+2Y的分布函数.知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布解答：Z的分布函数为2(2)2200()22zzyxyzxGFzedxdyedyedx2(){}{2}(,)xyzFzPZzPXYzfxydxdy当0z时，()0Fz，当0z时，2(2)2200220()22=(22)1zzyxyyxGzyzzzFzedydxedyedxeedyeze其中{(,)2,0}Gxyxyzz，故10()00ZZZeZeZFZZ题目：(91,3分)设随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且{24}0.3,{0}PXPX则0.2知识点：正态分布的计算题目：(92,3分)已知P(A)=P(B)=P(C)=11,()0,()()416PABPACPBC,则事件A、B、C全不发生的概率为38.知识点：概率的性质和对偶原则解答：因ABCAB,故0()()0()0PABCPABPABC，=0，从而所求概率为()1()PABCPABC()1()PABCPABC=1(()()()()()PAPBPCPABPAC()())PBCPABC=712()())PBCPABC题目：(92,6分)设随机变量X与Y相互独立,X服从正态分布2(,)N,Y服从[-π,π]上均匀分布,试求Z=X+Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中221()()2txxedt.知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布：1[()()]2ZuZu解答：由题意，Y的概率密度为1-y()20Yfy，，其他X的概率密度为22()21()()2xXfxex由卷积公式的Z的概率密度为22()211()22zyZfzedy作积分变量代换：zyt，得()Zfz1[()()]2ZuZu题目：(92,3分)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则2()xEXe43.知识点：指数分布的期望，函数的期望题目：(93,3分)一批产品有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为16.知识点：条件概率解答：由抽签原理（抽签与先后次序无关），第二次抽得次品的概率和第一次抽到c次品的概率相同，都是16。题目：(93,3分)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度()Yfy121,0440,yy当其他知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布题目：(93,6分)设随机变量X的概率密度为||1(),2xfxex（1）求EX和DX；（2）求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立？为什么？知识点：（连续型）机变量及其函数的数学期望和其他数字特征的计算解答：（1）1()()02xEXxfxdxxedx，而222201()()2=2xxEXxfxdxxedxxedx22()()(())2DXEXEX（2）因()0,()EXEX存在，所以ov,)()()()CXXEXXEXEX（=()xxfxdx=0可见，X与X不相干（4）因1111(1)