考研高数讲义高数第五章定积分上课资料

持之以恒，厚积薄发1第五章定积分第五章定积分2第一节定积分的概念与性质一、两个引例引例1求曲边梯形的面积求由曲线()yfx及直线xa，xb，x轴所围成的图形（曲边梯形）的面积。持之以恒，厚积薄发3（1）分割（化整为零）在],[ba内插入1n个分点，即:bxxxxxann1210则],[ba被分为n个小区间],[1iixx，记其长度为:1iiixxx),2,1(ni过每一分点作平行于y轴的直线ixx将曲边梯形分为n个小曲边梯形。第五章定积分4（2）取近似(不变代变)在每个小区间上任取一点],[1iiixx，则第i个小曲边梯形的面积：iiixfS)(),,2,1(ni即：一宽为ix，高为)(if的矩形面积（3）求和(积零为整)将n个小曲边梯形面积的近似值相加得曲边梯形面积之近似值：niiSS1iniixf)(1),,2,1(ni持之以恒，厚积薄发5（4）取极限(无限逼近)设,,max{21xx},,1nnxx即小区间的最大宽度，则：iniixfS)(lim10第五章定积分6引例2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间段],[21TT内对t的连续函数，且0)(tv．求在时间段],[21TT内物体经过的路程L。（1）分割（化整为零）（2）取近似(不变代变)（3）求和(积零为整)（4）取极限(无限逼近)持之以恒，厚积薄发7二、定积分1、定积分的定义：设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意插入1n个分点，bxxxxan210，将],[ba分为n个小区间],[1iixx,记其长度为1iiixxx,),2,1(ni；在每个小区间上任取],[1iiixx作乘积iixf)(；再作和iniixfs)(1，设},,2,1,max{nixi，),2,1(ni；若当0时，S的极限iniixf)(lim10总存在，则称)(xf在],[ba上可积,称此极限为)(xf在],[ba上的定积分，记为：badxxf)(即：iniibaxfdxxf)(lim)(10第五章定积分8其中：：积分号；iniixf)(1：积分和；],[ba：积分区间a：积分下限；b：积分上限；x：积分变量；dxxf)(：被积表达式持之以恒，厚积薄发9【例1】12lim1cos1cos1cosxnnnnn【答案】10221cosxdx第五章定积分102、可积条件定理1：设)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上可积。定理2：设)(xf在],[ba上有界且仅有限个间断点，则)(xf在],[ba上可积。持之以恒，厚积薄发113、几何意义badxxf)(：由曲线()yfx及直线xa，xb，x轴所围成的图形的面积的代数和。第五章定积分12【例2】（97一二）设在区间,ab上函数0()fx，()0fx，()0fx.令1()baSfxdx，2()()Sfbba，31()()()2Sfafbba，则（）(A)123SSS.(B)213SSS.(C)312SSS.(D)231SSS.【答案】（B）持之以恒，厚积薄发13【例3】1202xxdx.【答案】4第五章定积分144、定积分的性质规定：1）ba时，badxxf)(=02）baabdxxfdxxf)()(性质1：bababadxxgdxxfdxxgxf)()())()((性质2：babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）持之以恒，厚积薄发15性质3：cabcbadxxfdxxfdxxf)()()()(bca。实际上，这里的c可以为常数，即c可在],[ba之内或之外性质4:若1)(xf，则baabdx第五章定积分16性质5:若在],[ba上0)(xf，则badxxf0)(推论1:若在],[ba上)()(xgxf，则babadxxgdxxf)()()(ba持之以恒，厚积薄发17推论2：dxxfdxxfbaba)()(第五章定积分18【例4】（03二）设441200tan,,tanxxIdxIdxxx则（A）121.II（B）121.II（C）211.II（D）211.II【答案】（B）持之以恒，厚积薄发19性质6（估值定理）：设()fx在[,]ab上()mfxM，则()()()bambafxdxMba第五章定积分20性质7（定积分中值定理）：若()fx在[,]ab上连续，则至少一点(,)ab使得：()()()bafxdxfba持之以恒，厚积薄发21【例5】（91一）设函数()fx在0,1上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)fxdxf，证明：在(0,1)内存在一点c，使()0fc.第五章定积分22【相似练习】（96三）设()fx在,ab上连续，在(,)ab内可导，且1()()bafxdxfbba.求证：在(,)ab内至少存在一点，使()0f.持之以恒，厚积薄发23第二节微积分学基本定理一、积分上限函数及其导数积分上限函数：()x()()xxaafxdxftdt，[,]xab。第五章定积分24性质定理1：若()fx在[,]ab上可积，则()()xaxftdt在[,]ab上连续。持之以恒，厚积薄发25性质定理2：若()fx在[,]ab上连续，则()()xaxftdt在[,]ab上可导，且它的导数是：()()()xaxftdtfx()axb第五章定积分26性质定理3：若()fx在[,]ab上连续，则()()xaxftdt是()fx的一个原函数。（原函数存在定理）该定理说明：（1）连续函数必有原函数；（2）()()xafxdxfxdxC（3）()fx连续，则()()(())(())()(())()vxxuxftdtfvxvxfuxux持之以恒，厚积薄发27【例1】（92三）设2()()xaxFxftdtxa，其中()fx为连续函数，则lim()xaFx等于（）（A）2a.（B）2()afa.（C）0.（D）不存在.【答案】（B）第五章定积分28【例2】（90一）设()fx是连续函数，且()()xexFxftdt，则()Fx等于（）（A）()()xxefefx.（B）()()xxefefx.（C）()()xxefefx.（D）()()xxefefx.【答案】（A）持之以恒，厚积薄发29【例3】（95一）202cosxdxtdtdx.【答案】20224cos2cosxtdtxx第五章定积分30【例4】（93一二）设11()2(0)xFxdtxt，则函数()Fx的单调减少区间是.【答案】10,4持之以恒，厚积薄发31【例5】（93一）设sin20()sinxfxtdt，34()gxxx，则当0x时，()fx是()gx的（）（A）等价无穷小.（B）同阶但非等价的无穷小.（C）高阶无穷小.（D）低阶无穷小.【答案】（B）第五章定积分32【例6】（96一）设()fx有连续导数，(0)0f，(0)0f，220()()()xFxxtftdt，且当0x时，()Fx与kx是同阶无穷小，则k等于（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【答案】（C）持之以恒，厚积薄发33二、牛顿—莱布尼兹公式微积分学基本定理：若()Fx为连续函数()fx在[,]ab上的一个原函数，则()()()()bbaafxdxFbFaFx第五章定积分34【例1】求下列定积分（1）120xdx；（2）3211dxx；（3）211dxx【答案】（1）13；（2）12；（3）ln2持之以恒，厚积薄发35【例2】（89一二）设()fx是连续函数，且10()2()fxxftdt，则()fx.【答案】1x第五章定积分36【相似练习】设()fx为连续函数，且满足10()(),fxxxfxdx则()_____.fx【答案】2.3x持之以恒，厚积薄发37第三节定积分的计算方法一、换元积分法定积分换元法公式：()(())()bafxdxfttdt，其中()xt，()a，()b。注：（1）“换元三换”（2）换元后求出原函数不必再换回原来的变量第五章定积分38【例1】求下列定积分（1）411dxxx；（2）520cossinxxdx【答案】（1）3ln2；（2）16；持之以恒，厚积薄发39（3）ln201xxeedx；（4）350sinsin.xxdx【答案】（3）23；（4）45第五章定积分40【例2】（90二）101xxdx.【答案】415持之以恒，厚积薄发41【例3】（91二）计算41(1)dxxx.【答案】42ln3第五章定积分42【例4】（91二）设函数()fx在(,)内满足()()fxfxsinx且()fxx，0,x，计算3()fxdx.【答案】22持之以恒，厚积薄发43【例5】（87一二）设()fx为已知连续函数，0()stItftxdx，其中0s，0t，则I的值（）（A）依赖于s和t.（B）依赖于s，t，x.（C）依赖于t和x，不依赖于s.（D）依赖于s，不依赖于t.【答案】（D）第五章定积分44【例6】（92一）求220()()xdxtftdtdx，其中()ft为已知的连续函数.【答案】202()xxftdt持之以恒，厚积薄发45【例7】（94三）设函数()fx可导，且(0)0f，10()()xnnnFxtfxtdt，求20()limnxFxx.【答案】1(0)2fn第五章定积分46【例8】已知()fx在0x的某邻域内二阶连续可导，且001()1lim1lncos()xxfxxtdt，则（）(A)0x为()fx的极小值点(B)0x为()fx的极大值点(C)(0,(0))f为曲线()yfx的拐点(D)0x不是()fx的极值点，(0,(0))f也不是曲线()yfx的拐点【答案】（C）持之以恒，厚积薄发47【例9】设()fx为奇函数，且当0x时，()0fx，()0fx，令12210()()()xFxfxtdttftxdt，判别()Fx在(,)上的凹凸性。【答案】()Fx在(,)上是凸的第五章定积分48二、定积分的分部积分法分部积分法公式：bbbaaauvdxuvuvdx持之以恒，厚积薄发49【例10】求下列定积分（1）0cosxxdx；（2）120arcsinxdx；【答案】（1）2；（2）31122第五章定积分50【例11】（90一）求120ln(1)(2)xdxx.【答案】1ln23持之以恒，厚积薄发51【例12】（93二）求401cos2xdxx.【答案】1ln242第五章定积分52【例13】（88二）40xedx.【答案】22[1]e持之以恒，厚积薄发53二、奇偶函数和周期函数的积分性质1、奇偶函数的积分性质（1）变限积分：0()()()xfxftdtfx偶函数为奇函数时—奇函数为偶函数时()()(0)()xafxftdtafx偶函数为奇函数时—非奇非偶函数为偶函数时第五章定积分54（2）原函数：奇函数的原函数都是偶函数，偶函数的原函数中有一个为奇函数，其余的为非奇非偶函数。（3）定积分：02()()()0()aaafxdxfxfxdxfx为偶