耦合模理论的推导公式

耦合模理论耦合模理论（Coupled-ModeTheory，CMT）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论。CMT可用于非接触电能传输（ContactlessPowerTransfer，CPT）系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT来估算线圈间的能量传输效率，首先用电路原理（CircuitTheory，CT）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套相同的公式。随后分析3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式，最后将此方法推广到在同一平面的n个负载线圈的效率求解。1单负载的电路分析1.1电路分析在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，U是逆变后的交流电源，R为原副边的内阻，RL是负载，耦合系数12/KMLL，其中M为L1和L2的互感。系统最佳的工作频率就是谐振点，由集总参数的能量守恒原理可以得到11211URjLIjMIC(1)L212210RRLIjjMIC(2)222L2221,(R)XLjMUIPIRXM(3)令11iiXRjLC，2222221121L2(())(RX)CTLLLPIRMRUIUIRXXM(4)在谐振状态下，010201021211,,,LLXRXRLL，从而得到L2222(())(RR)LCTLMRRRRM(5)1.2CMT分析CPT系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈12(t),(t)aa的原始储能可分别表示为2212(t),(t)aa。由CMT可得111122(t)(j)(t)jK(t)(t)SaaaF（6）2212121(t)(j)(t)jK(t)aaa（7）在上述公式中，12,,L分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，12K为两个线圈的耦合率，(t)SF为励磁损耗（忽略不计）。CMT中，1122(t),(t)jtjtaAeaAe都是正弦信号；111222222,P2PAA和L22P2LA分别为原线圈、副线圈和负载的功率。由能量守恒定律可得2122222121222222LCMTLLLAPPPPAAA(8)由方程（6）和（7）可得11222112LAjKAjK，2LLLQR,11LQR,22LQR。将两者之间关系1212,,222LLQQQ以及122KK代入式（8），解得1212L2L2112122222222222()(()K(())()(())()LLCMTLLLLLKKLLRRRRKLLRRMRRRRMRR（9）与式（5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。2两个负载电路的传输效率分析2.1电路分析对于图2电路，2M和3M为1L分别与2L和3L的互感，3LR为线圈3所带的负载，2K和3K分别为两个负载线圈的耦合系数.同理可得11223311URjLIjMIjMIC（10）22221210LRRjLIjMIC(11)33331310LRRjLIjMIC(12)在谐振状态下的传输效率为2223322333211232222222()()1()()CTLLLLLLLLPIRIRMRRRMRRRUIUIGRRRR(13)式中：12323322222()()()()LLLLGRRRRMRRMRR.2.2CMT分析3个线圈的CMT分析和两个线圈的CMT分析方法类似，如下所示：1111122133(t)()(t)(t)(t)(t)SajajKajKaF（14）22222121(t)(+)(t)(t)LajajKa(15)33333131(t)(+)(t)(t)LajajKa(16)同理可得133122331223331323,,,,,LLLLLALLLLLQQQQQAjKRRRRR.同时有关系式2323123121323123,,,,,,2222222LLLLKKKKQQQQQ.从而解得22332312323112233223322222222222222CMTLLLLLLLLAAPPPPPPPAAAAA223332223222222()()()()LLLLLLMRRRMRRRGRRRR(17)式中：22323322222()()()()LLLLGRRRRRMRRMRR.解出的结果与式（13）相同.用CT方法和CMT方法能够得到相同的效率公式.33个负载电路的传输效率分析对于图3中3个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和CMT求传输效率是相同的.22334411222CTLLLPIRIRIRUIUI(18)2341234234CMTLLLLLLPPPPPPPPPP(19)令234234324423234222222(()()()()()()()()())()()()LLLLLLLLLLLLRRRRRRRMRRRRMRRRRMRRRRRRRRRR1223433243323222222222222()()()()()()LLLLLLLLLMRRRRRMRRRRRMRRRRR,求得传输效率公式为1CMT（20）4n-1个负载电路的传输效率分析用集总参数分析图4拓扑结构，图4有n-1个负载线圈，有n个方程，分别为112211...nnURjLIjMIjMIC（21）110iiiiiLRRjLIjMIC(2,...,)in(22)解上述n个方程，并将12,,...,nIII代入2j2233n122222222,()...+iinCTnnLLLLLijjiMRRRIRIRIRUI（23）式中：2)jnnn222222,()(()jjinLLLijjjjiRRRRRMRR用CMT方法分析图4的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得11111221(t)()(t)(t)...(t)(t)nnSajajKajKaF（24）211(t)(+)(t)(t)iiiiiLajajKa(2,...,)in（25）将以上各变量代换，得到222221212222iiiCMTiiiiiinnLLiinnnnLLiiiiPAPPAA（26）将条件1211,,,,,222iiiiiiiiiiiiiiLLLLLALLKQQKAjKRRQQ代入式（26），忽略两个负载之间的耦合现象及原线圈的励磁后，用集总参数和CMT能得到同样的结果.