排列组合与二项式定理(高考试题)

1排列组合与二项式定理一、排列组合1.（2016年四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A，所以其中奇数的个数为44372A，故选D.2.（2015年四川高考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A个；若万位上排5，则有343A个.所以共有342A343524120A个.选B.3.（2015年广东高考）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A条毕业留言，故应填入1560．4．(2014大纲全国，理5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()．A．60种B．70种C．75种D．150种答案：C解析：从6名男医生中选出2名有26C种选法，从5名女医生中选出1名有15C种选法，故共有216565CC57521种选法，选C.5．(2014福建，理10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()．A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)答案：A解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c)5种取法．所以共有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5种取法．故选A.6．(2014辽宁，理6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()．2A．144B．120C．72D．24答案：D解析：插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为34A＝24.故选D.7．(2014四川，理6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()．A．192种B．216种C．240种D．288种答案：B解析：(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为55A；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为1444CA.因此不同的排法的种数为514544A+CA＝120＋96＝216.8．(2014重庆，理9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()．A．72B．120C．144D．168答案：B解析：解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类33A，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有3333A2A72.第二类也分两步，先排歌舞类33A，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有122222CAA，故不同的排法有32213222AAAC48，故共有120种不同排法，故选B.9．(2014浙江，理14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案：60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有2234CA=36种；二是有三人各获得一张奖券，共有34A=24种．因此不同的获奖情况有36＋24＝60种．10．(2014北京，理13)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种．答案：36解析：产品A，B相邻时，不同的摆法有2424AA=48种．而A，B相邻，A，C也相邻时的摆法为A在中间，C，B在A的两侧，不同的摆法共有2323AA=12(种)．故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48－12＝36(种)．11．(2013山东，理10)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279B[解析](排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8＝648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.12．(2013福建，理5)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10B[解析]当a＝0时，2x＋b＝0，∴x＝－b2，有序数对(0，b)有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，有序数对(－1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B.13．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)480[解析]先排另外四人，方法数是A44，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A25，根据乘法原理得不同排法共有A44A25＝24×20＝480种．14．(2013北京，理13)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．96[解析]5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A44种方法，3所以不同的分法种数是4A44＝96.解析：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A44＝96.15．(2013浙江，理14)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．480[解析一]先在6个位置找3个位置，有C36种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A33种情况，故共有4C36A33＝480种．解析二：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，C36C12A22A33＝480.16．（2012·安徽卷）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4D[解析]任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.17．（2012·辽宁卷）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!C[解析]本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A33·A33·A33·A33＝(3！)4.18．(2011北京，理12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）【答案】14【解析】个数为42214.19．(2010山东，理8)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种【答案】B【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A种，另一类甲排在第二位共有133318CA种，故编排方案共有241842种，故选B.420.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有32223342ACAA432种，其中男生甲站两端的有1442223232212AACAA，符合条件的排法故共有288解析2：由题意有2221122222322323242A(CA)CC+A(CA)A288,选B.21.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323CACAC种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323CACCCAC种，所以共有32423490个.22.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．答案：336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有2237CA种，因此共有不同的站法种数是336种．.23．(2009·宁夏、海南，12)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有C67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C36C33A22种分法．最后排在周六和周日两天，有A22种排法，∴C67×C36C33A22×A22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C34种排法，∴共有C37×C34＝140种．答案：14024．（2010浙江，10）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．解析：上午测试安排有A44种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C13种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C13种方法，其余两位只有一种方法，则共有C13·C13＝9种，因此测试方法共有A44·(2＋9)＝264种．答案：264525．(2009·辽宁，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成