点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案：一.判断题(每小题2分)1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑(×)2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.(√)3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.(×)4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.(×)5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（√）6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（×）7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(√)8．设12,TT是集合X的两个拓扑，则12TT不一定是集合X的拓扑(×)9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（√）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA（√）11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA（×）12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dAX（√）二．填空题：(每空格3分)1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为321,,ZZZ包含3的所有闭集为,...,,,/6/5/41ZZZZ包含3的所有邻域为3321}1{,,,ZZZZ设A={1,2,3,4,5}则A的导集为{1,2,3,4}，A的闭包为{1,2,3,4,5}2、设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是____R____.4、)(Adx当且仅当对于x的每一邻域U有;答案：({})UAx5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()dA=;A=;答案：X；X6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()dA=;A=;答案：X；X7、设{1,2,3}X,X的拓扑{,,{2},{2,3}}TX,则X的子集{1,2}A的内部为;答案：{2}三、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}Xabcde,下列集族中，（）是X上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}XaabaceT②{,,{,,},{,,},{,,,}}XabcabdabceT③{,,{},{,}}XaabT④{,,{},{},{},{},{}}XabcdeT答案：③2、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则}{b=（）①φ②X③{}b④{,,}bcd答案：④3、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则{}a=（）①φ②X③{,}ab④{,,}bcd答案：②4、设{,,,}Xabcd，拓扑{,,{},{,,}}XabcdT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）①1②2③3④4答案：②5、设{,}Xab，拓扑{,,{}}XbT,则X的既开又闭的子集的个数为（）①0②1③2④3答案：③6、在实数空间中，有理数集Q的内部Q是（）①②Q③R-Q④R答案：①7、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是（）①②Q③R-Q④R答案：④8、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）①②Z③R-Z④R答案：①9、在实数空间中，整数集Z的边界()Z是（）①②Z③R-Z④R答案：②10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：③11、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集,则下列关系中错误的是（）①()()()dABdAdB②ABAB③()()()dABdAdB④AA答案:③12、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（）①()dA②()dAXA③()dAA④()dAX答案：①13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A,则()dA②若0{}Ax,则()dAXA③若A={12,xx},则()dAX④若AX,则()dAX答案：④14、设{,,,}Xabcd，令{{,,},{},{}}abccdB,则由B产生的X上的拓扑是（）①{X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{X,,{c},{d},{c,d}}③{X,,{c},{a,b,c}}④{X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案：①15、离散空间的任一子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③16、平庸空间的任一非空真子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④17、实数空间R中的任一单点集是()①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②18、实数空间R的子集A={1,21,31,41,……},则A＝（）①φ②R③A∪{0}④A答案：③19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）①整数集②ba,③有理数集④无理数集答案：①20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z答案：④21、已知{1,2,3}X上的拓扑{,,{1}}TX,则点1的邻域个数是（）①1②2③3④4答案：④22、已知{,}Xab,则X上的所有可能的拓扑有（）①1个②2个③3个④4个答案：④23、在实数下限拓扑空间R中，区间[,)ab是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：③24、设X是一个拓扑空间，,ABX,且满足()dABA,则B是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：②四.证明题(52分):1.设X有拓扑ininTTTT121,,...,也是拓扑.证:iniTAiTAiniiiiniiniiiiniiniiTAniTATAniTAniTTTTTBAniTBAniTBATBATXniTX1~~1T~AT~A1111,...1,,...1,,...1,~,~)3(,...1,....1,,,,)2(,,,...2,1,,)1(所以iniT1也是拓扑.2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.证:设度量空间X中序列Ziix}{有：yxxxiiiilim,lim若yx则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.对于B(x,ρ(x,y)/3),存在1N0,当i1N时有ixB(x,ρ(x,y)/3)对于B(y,ρ(x,y)/3),存在2N0,当i2N时有ixB(y,ρ(x,y)/3)取N=max{1N,2N},则当iN时有ixB(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.矛盾3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则Bx={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基.见P.82定理2.6.74.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.