第五章Hilbert空间理论-黎永锦

107第5章Hilbert空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.HilbertD.(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert空间在历史上比赋范空间出现得早,2l是最早提出来的Hilbert空间,它是1912年HilbertD.在研究积分方程时给出的,而Hilbert空间的公理化定义直到1927年才由NeumannVJ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llichFLowigHRe.,.和RieszF.在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1内积空间在2R中,把一个点看成一个向量,对于2R的任意两个点),(),,(2121yyyxxx,定义内积2211),(yxyxyx,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义5.1.1设X是线性空间,若存在XX到K的一个映射,使得对任意Xzyx,,,有（1）),(),(xyyx；（2）),(),(),(zyzxzyx；108（3）0),(xx,且0),(xx当且仅当0x时成立.则称X内积空间.在.}C,)||(,|){(21212为复数这里iiiixCxxl上,定义内积为1),(iiiyxyx,则明显地,2l是一个内积空间.nR中的SchwarzCauchy不等式可以追溯Lagrange和Cauchy,积分形式的SchwarzCauchy不等式是kyBouniakows在1859年和Schwarz在1885证明的.2l中的SchwarzCauchy不等式则是Schmidt在1908年得到的.抽象的SchwarzCauchy不等式是Neumannvon在1930年证明的.在内积空间X中,有下面的SchwarzCauchy不等式成立.定理5.1.1(SchwarzCauchy不等式)若X是内积空间,则对任意Xyx,,有),(),(|),(|2yyxxyx证明明显地,只须证明0y时不等式成立.对于任意0,yK,有2||),(}),Re{(2),(),(yyyxyxyxyx取),(),(yyyx,则0),(),(|),(|),(|),(|2),(222yyyyyxyyyxxx因此),(),(|),(|2yyxxyx.109利用SchwarzCauchy不等式,可以证明任意的内积空间X都可以定义范数),(||||xxx,使之成为赋范空间.定理5.1.2设X是内积空间,),(||||xxx,则||||是X的范数.证明由内积的定义可知0||||x时,有0x.由于),(||),(),(2xxxxxx因此,||||||),(||),(||||xxxxxx.对于任意Xyx,,由Cauchy不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212yyyyxxxxyyyxxxyxyxyx因而||||||||||||yxyx,所以||||是X的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||xxx是X的范数,一般称这一范数为内积),(yx诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X看成赋范空间||)||,(X,这样的内积空间X上可以使用赋范空间||)||,(X的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义5.1.2若内积空间X在范数),(||||xxx下是Banach空间,则称X是Hilbert空间.容易证明,2l是Hilbert空间.内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3设X是内积空间,若yyxxnn,,则),(),(yxyxnn.证明由于|||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|yyxyxxyyxyxxyxyxyxyxyxyxnnnnnnnnnnnn因此yyxxnn,时,有),(),(yxyxnn.110不难证明,对于内积空间X,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4设X是实内积空间,则对任意Xyx,,有)||||||(||41),(22yxyxyx定理5.1.5设X是复内积空间,则对任意Xyx,,有)||||||||||||||(||41),(2222iyxiiyxiyxyxyx由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||xxx,使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题5.1.1对于任意赋范空间X,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||xxx?例如,在赋范空间1l中,对于任意1,lyx,定义1),(iiiyxyx,则),(yx是否为1l的内积,并满足),(||||xxx？定理5.1.6设X是赋范线性空间,则在X可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||xxx的充要条件为对任意Xyx,,有)||||||(||2||||||||2222yxyxyx证明若X可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||xxx,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||yxyyxxyxyxyxyxyxyx反过来,若对于任意Xyx,,有)||||||(||2||||||||2222yxyxyx.为了简明起见,这里只证X是实赋范空间的情形.令)||||||(||41),(22yxyxyx,则（1）),(),(xyyx；（2）0),(xx且0),(xx且当仅当0x;（3）对于任意Xzyx,,,有111)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222yxzyxyxzyxyxzyxyxzyxyxzyxyxzyxzyxzyxzyx)||2||||2(||2122zyxzyx由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222zyxzyxyxzyxyxzyxyxzyxyxzyxyxzyxyxzyxzyzyzxzxzyzx因此,),(),(),(zyzxzyx.对于任意XyxR,,,令),()(yxf,则)(f为连续函数,且)()()(2121fff,因此)(f是线性的,即)1()(ff,因而),(),(yxyx.由222||||)||||||(||41),(xxxxxxx可知),(||||xxx,因此),(yx是X上的内积,且),(||||xxx.在上面定理的证明中,当X是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iyxiiyxiyxyxyx,则可证明),(yx就是X上的内积,且满足),(||||xxx.112由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(X不一定可以定义内积),(,使之成为内积空间,且满足),(||||xxx.例5.1.1在l中,取),0,1,1(),,0,0,1,1(yx,则1||||,1||||yx,但2||||||||yxyx,因此)||||||(||2||||||||2222yxyxyx,所以在l上不能定义内积,使得l成为内积空间,且满足),(||||xxx.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8设X是内积空间,则X一定是严格凸的赋范空间.证明对于任意Xyx,,若yx,且1||||||||yx,则由)||||||(||2||||||||2222yxyxyx可知4||||4||||22yxyx,因而1||2||yx,所以X是严格凸的.5.2投影定理内积空间是nR的自然推广,在内积空间X上,可以把向量空间nR的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1设X是内积空间,Xyx,,若0),(yx,则称x与y正交,记为yx.若XMXx,,且对任意My,有0),(yx,则称x与M正交,记为Mx.若对任意NyMx,,都有0),(yx,则称M与N正交,记为NM.若XM,则称}|{MxXxM为M的正交补.例题5.2.1设]1,1[C为[-1,1]上的实连续函数全体,内积为11)()(),(dttytxyx,若M为[-1,1]上的实连续奇函数全体,试证明M的正交补为[-1,1]上的实连续偶函数全体.证明(1)若y为[-1,1]上的实连续偶函数,则对所有,Mx)()(tytx都是[-1,1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11dttytxyx,因此My.(2)反过来，若My，令)()()(tytytz,则)()()()(tztytytz,从而)(tz113为奇函数,因此Mz,所以0),(zy.由于)()()()()()]()([)(2tztytztytztytytz,因此0),(),()()()()()(1111112zyzydttztydttztydttz从而0)]()([112dttyty由)(ty是连续函数可知)()(tyty,即)(ty一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M的正交补为[-1,1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1设X为内积空间,XMXx,,则（1）当yx时,有222||||||||||||yxyx；（2）当yx且zx时,有)(21zyx对于任意K21,都成立；（3）当NM时,有NM,且MN；（4）当NM时,有NM；（5）}0{MM,对任意XM成立.定理5.2.2设X是内积空间,XM,则M是X的闭线性子空间.证明对于任意Myx,,及Mz,有0),(zx且0),(zy因此,对任意K,,有0),(),(),(zyzxzyx故Myx,即M是线性子空间.若xxMxnn,,则对任意Mz,有0),(lim),(zxzxnn,因此Mx,所以,M是X的闭线性子空间.定理5.2.3设X是内积空间,XM,则MMspan))((.114证明:对于MMspan)(因此MMspan))((.反过来,对任意Mx,有}{xM,由上面定理可知}{x是闭子空间,故}{xMspan,因而))((Mspanx,所以))((MspanM,从而MMspan))((.定义5.2.2设X是内积空间,M,N是X的线性子空间,若NM,则称},|{NyMxyxH为M与N的正交和,记为NMH.如在2R中,取}|),0{(},|)0,{(2211RxxNRxxM,则NM,且NMR2.定义5.2.3设M是内积空间X的线性子空间,Xx,若存在MyMx,0,使得yxx0则称0x为x在M上的投影.在3R中,对},|)0,,{(2121RxxxxM,及任意Xxxxx),,(321,有MxyM