第五章机械振动习题课选讲例题

机械振动机械振动习题课选讲例题xtx222dd(2)简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx(3)简谐运动的运动学描述（在无外驱动力的情况下）一简谐运动的描述和特征(5)三个特征量：振幅A决定于振动的能量；角频率决定于振动系统的性质；初相决定于起始时刻的选择.xa2(4)加速度与位移成正比而方向相反(1)物体受线性恢复力作用F=-kx平衡位置x=0kxOmmk2简谐振动微分方程0222xdtxdkxF0222xdtxd22dtxdmkx简谐振动的另一种普遍定义：若质点的运动学方程可以归纳为：其中为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。一、弹簧振子模型简谐运动实例：二单摆0222dtd结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：glTlg2200当时sinsinmglMgmfTCOmgldtdml222摆球对C点的力矩JMmglMl/g2三复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222dtd结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。sin当时gmhCO22dtdJmghJmgh2设：复摆对此固定轴的转动惯量为J固有周期、固有频率、固有角频率、、T、、T对弹簧振子kmT2mk21mk单摆glT2lg21lg复摆mghJT2Jmgh21Jmgh、、T都决定于质量、劲度系数、摆长、转动惯量等反映振动系统本身特征的一些物理量。三、简谐振动的旋转矢量表示法)cos(0tAxx0t=0At+0t=tAoX矢量为一长度不变的矢量，以恒定的角速度逆时针转动。A0t=0Axt+0t=tAoX记住四个特殊位置的点简谐振动的质点处于正向最大位移并向平衡位置运动（速度为0，加速度为负最大）简谐振动的质点处于负向最大位移并向平衡位置运动（速度为0，加速度为正最大）简谐振动的质点处于平衡位置并向正向最大位移运动（速度为正向最大，加速度为0）简谐振动的质点处于平衡位置并向负向最大位移运动（速度为负向最大，加速度为0（因在x轴投影为0）AvAan2Aan2动能221mvEk)t(sinkA02221势能221kxEp)t(coskA02221情况同动能。pppEEE,,minmax0minkE2411kAdtETETttkk2max21kAEk机械能221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒机械振动机械振动习题课选讲例题四简谐运动的能量221kAEEEpk4T2T43TEoTttkAE22pcos21tAmE222ksin21机械振动机械振动习题课选讲例题一、同方向、同频率谐振动的合成:同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动,其频率仍为,与分振动相同.)cos(AAAAA10202122212221122110cosAcosAsinAsinAtg)tcos(A)t(x1011)tcos(A)t(x2022)tcos(Axxxx021质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:五简谐振动的合成2A1AA102001x2xx如A1=A2,则A=0,,,kk21021020两分振动相互加强21AAA,,,k)k(210121020两分振动相互减弱21AAA分析若两分振动同相：若两分振动反相:)cos(AAAAA10202122212合振动不是简谐振动式中tAtA)2cos(2)(12tt)2cos(cos12随t缓变随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向不同频率简谐振动的合成分振动)tcos(Ax11)tcos(Ax22合振动)tcos(t)cos(Ax222121221xxx当21时,ttAxcos)(则：1212机械振动机械振动习题课选讲例题(2)两个同方向不同频率简谐运动合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.12拍频（振幅变化的频率）(3)相互垂直的两个同频率简谐运动,合运动轨迹一般为椭圆,其具体形状等决定于两动的相位差和振幅.合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122分振动)tcos(Ax101)tcos(Ay202(3)相互垂直的两个同频率简谐运动,合运动轨迹一般为椭圆,其具体形状等决定于两分振动的相位差和振幅.*五、垂直方向不同频率可看作两频率相等而2-1随t缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹称为李萨如图形yxA1A2o-A2-A1简谐振动的合成)()(xyxyt4023xyyx,::两分振动频率相差很小两振动的频率成整数比首页上页下页退出例弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。证：以平衡位置A为原点，向下为x轴正向，设某一瞬时m的坐标为x，则物体在振动过程中的运动微分方程为式中l是弹簧挂上重物后的静伸长mglxkdtxdm)(22mglk因为,22kxdtxdm0222xdtxd即有：这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0lmgF例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2FmoxkJR解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则0lkmgTmTmga2FmoxkJR当m有位移x时maTmgRaJRxlkT)(联立得aRJRkx20222xRJmkdtxd物体作简谐振动22RJmkkRJmT222例质量为m的比重计，放在密度为的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。解：取平衡位置为坐标原点平衡时：0Fmg浮力：VgF其中V为比重计的排水体积OFgm222dd2πtxmgxdVmgxmgdtx4πdd222222dd2dπtxmxgVgmgOxxmgdπ2gmdTπ4π2机械振动机械振动习题课选讲例题例图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为A/2-AOxt（A）（B）2/π3（D）零π（C）2/π机械振动机械振动习题课选讲例题例已知一谐振动曲线如图所示，由图确定：（1）在_______s时速度为零（2）在___s时动能最大（3）在_______s时加速度取正的最大值kk+1/22k+1/2Ox/cm12t/s机械振动机械振动习题课选讲例题（2）为最小时，为_____________21xx则（1）为最大时，为______________21xx3/ππ2k3/π4π2k例已知两个同方向的简谐振动：),3π10(cos04.01tx)10cos(03.02tx机械振动机械振动习题课选讲例题2A例一简谐运动的运动曲线如图所示，求振动周期.020vAxt0t00s5.7vxt6π5TTt5.7π2s18Tst5.70Axst/2AOAv5.7xAAO机械振动机械振动习题课选讲例题OAAx2A**abt例已知谐振动的A、T，求(1)如图简谐运动方程，(2)到达a、b点运动状态的时间.)cos(tAx解法一从图上可知0,2,0vAxtcos2AA21cos)3π5,3π(3π或0sin,00v3π53π或)3πcos(tAxv机械振动机械振动习题课选讲例题)3πcos(tAx)3πcos(atAAπ,4,π2,03πatπ2)3π(at03ππ2atT6Tta)3πcos(2btAA3π7,3π5,3π3πbtπ2)3π(bt3π3ππ2btT3TtbOAAx2A**abvt机械振动机械振动习题课选讲例题解法二)cos(tAxA/20,2,0vAxt3πxAAO矢量位于轴下方时0vxOAAx2A**abvt用旋转矢量法求初相位A/2)3πcos(tAx机械振动机械振动习题课选讲例题0txAAOA/26π2TTtaatt3π)3π(0OAAx2A**abvt)3πcos(tAxbtt3π2)3π(3π3π2TTtb机械振动机械振动习题课选讲例题例求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅)6πcos()m103(21tx)3πcos()m104(22tx2π)6π(3π12A2221AAAm1052Ox1A2A12)cos(212212221AAAAA机械振动机械振动习题课选讲例题例一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，求合振动的振幅和初相位.)6πs2cos()m104(121tx)6π5s2cos()m103(122txπm1012A6π1)6πs2cos()m101(12tx1A2A12xOA机械振动机械振动习题课选讲例题3π23Nπ2N0321xxxx0A例已知如下的三个简谐振动，求合振动.tAxcos11)3π2cos(22tAx)3π4cos(33tAx321xxx求：321AAA已知3π21A2A3AOx3π2首页上页下页退出例一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为（A）1s；（B）（2/3）s；（C）（4/3）s；（D）2s。解：02cos000vAAx32002cosvAAx34Tt23234sT323选（B）例两质点做同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：A-AoA/2-A/2)()(21tt)3π2(3ππ例一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：（1）简谐振动方程；（2）物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。100srad0.6,0,m04.0vxm04.00202020xxAv振幅：)0.6(cos04.0tx得0arctan00xv解：AxttAxarccos)cos()3π(sin0.604.0sintAv)3π5(3π21arccos2arccos或AAt3π,2:tAxAx按题意1sm208.02kp21kAEEEEAkkxEAx4122121222p