第五章正弦稳态交流电路1.

第3章正弦稳态交流电路3.1正弦稳态交流电路的基本概念3.2正弦量的相量表示及相量图3.3正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量形式3.4复阻抗、复导纳及简单正弦交流电路的分析3.5正弦交流电路的功率3.6谐振电路3.7三相正弦电路（1）正弦量的三要素；（2）正弦量的相量表示方法及相量图；（3）R、L、C各元件VCR的相量形式；（4）正弦电路的相量分析法；（5）正弦电路的功率及功率因数的提高；（6）对称三相电源及对称三相电路的计算。本章内容提要重点：（1）几个同频率正弦电压、电流的合成只满足相量形式合成、瞬时值（解析式）合成，而不满足有效值合成；（2）谐振电路的谐振条件及谐振电路的谐振特征。难点：设正弦交流电瞬时值的一般表达式为：可见，每个正弦量都包含三个基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角频率ω和初相位（ψu、ψi）。它们分别反映了正弦量的大小、变化的快慢及初始值三方面的特征。角频率最大值（也称为幅值）初相角3.1.1正弦量的瞬时值3.1正弦稳态交流电路的基本概念ktktkt与直流电不同，正弦交流电的大小、方向随时间不断变化，即一个周期内，正弦量在不同瞬间具有不同的值，将此称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（）、u（）或i、u来表示时刻正弦电流、电压的瞬时值。u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式是正弦量瞬时值中最大的值。一般用大写字母加下标m表示。即Um或Im设正弦交流电流：Im2TitO3.1.2正弦量的三要素正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用来反映正弦量的幅度大小。有时提及的峰-峰值是指电压正负变化的最大范围，即等于2Um。必须注意，振幅总是取绝对值，即正值。所谓周期，就是交流电完成一个循环所需要的时间，用字母T表示，电位为秒（s）。单位时间内交流电循环的次数称为频率，用f表示，据此定义可知，频率与周期互为倒数关系。频率的单位为1/秒，又称赫兹（Hz），工程实际中常用的单位还有kHz、MHz及GHz，等，相邻两个单位之间是103进制。1、最大值（幅值）：2、正弦量的周期、频率及角频率：Tf13、初相位ψ和相位差φ：相位差φ：两个同频率正弦量的相位之差。如：u、i的初相位分别为ψu、ψi，则u、i的相位差为:初相位ψ：表示正弦量在t=0时刻的相角。其值与计时起点有关，一般用-πψ≧π的角度来表示。规定||≤π。初相反映了正弦量在t=0时的状态。需要注意的是，初相的大小和正负与计时起点（即t=0时刻）的选择有关，选择不同，初相则不同，正弦量的初始值也随之不同。3.1.3相位差(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi=φ角频率ω：角频率ω：角频率ω是正弦量单位时间内变化的电角度，单位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每变化一个周期T的电角度相当于2π电弧度，因此角频率ω与周期T及频率f的关系如下：Tf1fT22如果φ0,称u超前i，或i滞后u；uiuiOωt设u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi如果φ0,称i超前u，或u滞后i.相位差下面介绍几种常见情况ωtuiuiOφ=ψu–ψi0电流超前电压φ=ψu–ψi=-900电流超前电压900uiωtuiOφ=ψu–ψi=00电压与电流同相φ=ψu–ψi=1800电压与电流反相uiωtuiOuiωtui90°O几种常见情况注意：与交流电热效应相等的直流电定义为交流电的有效值。用大写字母I、U表示。正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正弦电流i（t）为例，流过电阻R，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电流i在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电流值为正弦电压i（t）的有效值。据此定义有：3.1.4交流电的有效值2201dTRIRitTTtiTI02d11、两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。2、相位差φ=ψu–ψi≤1800正弦电流、电压的有效值电流的有效值设电流i(t)=Imsin(t+i)ttITITid)(sin1022mTttttTiTi21d2)(2cos1d)(sin002IIIITITI2707.0221mmm2m或)sin(2)sin()(miitItIti即TtiTI02d12.mUUU141422m)0011()dsin(dTTuUuttUttTT电压的有值：正弦电压u（t）是定义为加在电阻R两端的电压，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压u（t）的有效值。据此定义有：TRUtRtuT202d)(设正弦电压u（t）的解析式为u（t）=Umsin（ωt+u），则其有效值U为正弦电压的有效值2001cos2()1sin()dd22TTiittttT（）mm07072UU工程实际中，往往也以频率区分电路，例如：高频电路、低频电路。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。mmIUIUiu我国和世界上大多数国家，电力工业的标准频率即所谓的“工频”是f=50Hz，其周期为0.02s，少数国家（如美国、日本）的工频为60Hz。*有线通讯频率：300-5000Hz*无线通讯频率：30kHz-3×104MHz电视用的频率以MHz计，高频炉的频率为200～300kHz，目前无线电波中频率最高的是激光，其频率可达106MHz（即1GHz）以上。声音信号的频率为20～20000Hz，广播中频段载波频率为535～1605Hz在其他技术领域中也用到各种不同的频率图3.2给出了几种不同计时起点的正弦电流的波形。由波形可以看出在一个周期内正弦量的瞬时值两次为零。现规定：靠近计时起点最近的，并且由负值向正值变化所经过的那个零值叫做正弦量的零值，简称正弦零值。正弦量初相的绝对值就是正弦零值到计时起点（坐标原点）之间的电角度。初相的正负这样判断：看正弦零值与计时起点的位置，若正弦零值在计时起点之左，则初相为正，如图3.2（a）所示；若在右边，则为负值，如图3.2（b）所示；若正弦零值与计时起点重合，则初相为零，如图3.2（c）所示。例3.1图3.3给出一正弦电压的波形，试根据所给条件确定该正弦电压的三要素，并写出其三角函数式。假定此电流的为：i（t）=20sin（50πt+i）A由图可知正弦电流在t=5ms时，i=0，即：20sin（50π×0.005+i）=0因此50π×0.005+i=0rad/sπ5004.0π2π2Tw =4i解:由波形图可知：T=(25–5)×2=40ms=0.04s20sin(50)4ittA（）角频率Im=20A电流振幅周期三角函数式结论解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为=（-180o）-（-45o）=-135o＜0所以u（t）滞后i1（t）135o。电压u（t）与电流i2（t）的相位差为=-180o-60o=-240o如右图所示由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位差应为=-240o+360o=120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o。同频率正弦量的相位差不随时间变化，即与计时起点的选择无关。在同一电路中有多个同频率正弦量时，彼此间有一定的相位差。为了分析方便起见，通常将计时起点选得使其中一个正弦量的初相为零，这个被选初相为零的正弦量称为参考正弦量。其它正弦量的初相就等于它们与参考正弦量的相位差。。-240o+120o例3.2已知正弦电压、电流的解析式为u（t）=311sin（70t-180o）Vi1（t）=5sin（70t-45o）Ai2（t）=10sin（70t+60o）A试求电压u（t）与电流i1t）和i2t）的相位差并确定其超前滞后关系。相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。复数与复平面上的点一一对应，此时复数可用点的横纵坐标，即复数的实部、虚部来描述；复数与复平面上带方向的线段（复矢量）也具有一一对应关系，此时复数可用该线段的长度和方向角，即复数的模和幅角来描述。如图3.5所示直角坐标系中，实轴（+1）和虚轴（+j）组成一个复平面，该复平面内，点A的坐标为（a，b），复矢量的长度、方向角分别为r、，则它们之间的关系为OA3.2正弦量的相量表示及相量图3.2.1复数的表示形式及运算规则正弦量的两种表示方法解析式（三角函数表示法）正弦量的波形图（正弦曲线表示法）这两种表示方法都反映了正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬时值随时间变化的关系。下面复习复数的有关知识正弦量表示方法（相量表示法）复平面如左图所示在平面坐标上的一个旋转矢量可以表示出正弦量的三要素。ω1uu0xyOmUutωOtω1)(sinmψtUu设正弦量:正弦量的相量表示法正弦量的矢量表示法若:矢量长度=Um矢量与横轴夹角=初相位矢量以角速度ω按逆时针方向旋转，则:该旋转矢量每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。矢量可以用复数表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用复数表示。采用复数坐标，实轴与虚轴构成的平面称为复平面。图示中实数A=a+jb，a为实部，b为虚部。3.2.1复数的表示形式及运算规则+1+jobaAψ图矢量复数表示r22barabtanarc(3.7)其中a、b叫做复数的实部、虚部；r、叫做复数的模、幅角，规定幅角||≤π。22Aab或a=rcos，b=rsin（3.8）jAresinjcosje=Ar（3）指数形式（4）极坐标形式由根据欧拉公式1、复数的表示形式（3.12）（3.11）（2）三角函数形式A=rcos+jrsin（3.10）+1+jobaAψ图矢量复数表示r（1）代数形式A=a+jb（3.9）其中j叫做虚数单位，且j2=-1，90jje90=j90jje90=jA=a1+ja2aψAaψAjeB=b1+jb2bψBbψBje1212(j)(j)ABaabb1212(j)(j)ABaabb2、复数的运算规则复数相乘或相除时，以指数形式和极坐标形式进行较为方便。两复数相乘时，模相乘，幅角相加；复数相除时，模相除，幅角相减。以极坐标形式为例：复数相加或相减时，一般采用代数形式，实部、虚部分别相加减。即A±B=（a1±a2）+（b1±b2）复数相加或相减后，与复数相对应的矢量亦相加或相减。在复平面上进行加减时，其矢量满足“平行四边形”或“三角形”法则。（1）复数的加减法1122()j()abab1122()j()abab（2）复数的乘除法A=a1+ja2aψAaψAjeB=b1+jb2bψBbψBje112221122212()j(-)()ababababbb复数的加减要用复数的代数形式。复数的乘除用代数形式比较麻烦，用指数形式或极坐标形式就比较简单。jψjψabABAeBeabABAψBψ1212(j)(j)ABaabb11221221()j()abababab121212121212(j)(j)(j)(j)(j)(j)aaaabbABbbbbbbj(ψψ)abABe()abABψψjψjψabAeABBeabAψABBψ[例]已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和21AA解：方法一j5510)35410j()45310(j4)j5)(3(1021AAj1-24325j50j4)j4)(3(3j4)j5)(3(1