第五章线性参数最小二乘处理.

第5章线性参数的最小二乘处理最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法．本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非线性参数估计中的应用。从而使学生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。教学目标最小二乘法原理等精度测量线性参数的最小二乘处理不等精度测量线性参数的最小二乘处理最小二乘估计量的精度估计组合测量的最小二乘法处理重点与难点第一节最小二乘原理一、引入待测量（难以直接测量）：tXXX,,,21直接测量量：nYYY,,,21),,,(),,,(),,,(212122221111tnnnttXXXfYlXXXfYlXXXfYl问题：如何根据和测量方程解得待测量的估计值？nlll,,,21txxx,,,21:tn直接求得。txxx,,,21:tn有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求。txxx,,,21第一节最小二乘原理讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。第一节最小二乘原理二、最小二乘原理设直接测量量的估计值为，则有nYYY,,,21nyyy,,,21),,,(),,,(),,,(2121222111tnnttxxxfyxxxfyxxxfy由此得测量数据的残余误差nlll,,,21),,,(),,,(),,,(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv残差方程式0yx第一节最小二乘原理若不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为，则出现在相应真值附近区域内的概率为nlll,,,21n,,,21nddd,,,21),,2,1(21)2(22nidePiiiii由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为nnniidddePPniii21)2(21112221nlll,,,21第一节最小二乘原理测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有nlll,,,212222222121nn最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为2222222121nnvvv最小等精度测量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小不等精度测量的最小二乘原理：第一节最小二乘原理niiinnvpvpvpvp122222211最小最小二乘原理（其他分布也适用）测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第一节最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为：tntnnnttttXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY22112222121212121111tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111残差方程为)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv第一节最小二乘原理令ntnnttnnnaaaaaaaaaAvvvVxxxXlllL212222111211212121ˆ则残差方程的矩阵表达式为XALVˆ等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：最小）（）（最小XALXALVVTTˆˆ不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第一节最小二乘原理2222221221000000000000nnnnpppP权矩阵最小）（）（最小XALPXALPVVTTˆˆ四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理第二节正规方程正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程21121()0()0niiniitvxvx)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv最小22221nvvv2222222121nnvvv最小第二节正规方程正规方程：tniititniiitniiitiniittniitiniiiniiiiniitniitiniiiniiiiniixaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaala12121111122122111212112121111111特点：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等看正规方程组中第r个方程：0][12121111tniitirniiirniiiriniirxaaxaaxaala02211nnrrrvavava则正规方程可写成000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava0VAT第二节正规方程即正规方程的矩阵形式第二节正规方程将代入到中，得XALVˆ0VAT0ˆXAALATTLAXAATTˆLAXCTˆLACXT1ˆ（待测量Ｘ的无偏估计）AACT第二节正规方程例5.1已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：为。为获得０℃时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。)1(0tyyt0y0y1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60Cti0/mmli/解：1）列出误差方程00()iiivlyyt令为两个待估参量，则误差方程为00,yayb第二节正规方程()iiivlatb根据误差方程，按式（5-19)列出正规方程66116662111iiiiiiiiiiinatbltatbtl将表中计算出的相应系数值代入上面的正规方程得617012006.031705650340201.3abbb解之可得a、b,进而可得y0、α第二节正规方程按照最小二乘的矩阵形式计算6166211111121161701217056501iiTniiiintnttCAAtttttt则有：0012.0034.0034.013.11C第二节正规方程601501401301201101ˆ60.200148.200107.200180.200072.200036.2000AdcXL则有：11999.97ˆ0.03654TaXCALb0001999.97/0.0000183/yammbyC第二节正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程＝最小niiivp120)(0)(12112nniiiniiixvpxvp由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：第二节正规方程tniititiniiitiniiitiiniititniitiiniiiiniiiiiniiitniitiiniiiiniiiiiniiixaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplap12121111122122111212112121111111整理得：000222111222221121122121111nntnttnnnnnnvapvapvapvapvapvapvapvapvap第二节正规方程即0PVAT不等精度的正规方程将代入上式，得XALVˆ0ˆXPAAPLATTPLAXPAATTˆPAACTPLAXCTˆPLACXT1ˆ（待测量Ｘ的无偏估计）第二节正规方程例5.2某测量过程有误差方程式及相应的标准差：08.0)5(27.1508.0)4(22.1308.0)3(81.1006.0)2(60.806.0)(44.652154214321322121211xxvxxvxxvxxvxxv试求的最可信赖值。21,xx解：首先确定各式的权9:9:9:16:161:1:1:1:1::::252423222154321ppppp第二节正规方程令615141312111ˆ27.1522.1381.1060.844.621AxxXL900000900000900000160000016nnP227.2186.4)(ˆ121PLAPAAxxXTTxlvxlvxlvnn2211则按照最小二乘原理可求得第二节正规方程四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据，相应的权分别为nlll,,,21nppp,,,21，则测量的误差方程为11224001001,,001nlplpLApMMpl第二节正规方程结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例。112211140000ˆˆ()()(111)00nTTiinlplpXxAPAAPLppl则12...npppp对等精度测量，有112212112...(...)ˆˆ...ninnninlplplplplllXxpppnpn11122121......niiinnnniiplplplplpppp则对进行n次等精度测量，根据残余误差得的估计量。第三节精度估计目的：给出估计量的精度。txxx,,,21一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计nlll,,,212可以证明是自由度的变量。根据变量的性质，有212/)(niiv22tnvEnii212212tnvEniint则可取tnvnii122ˆ第三节精度估计作为的无偏估计量。2因此测量数据的标准差的估计量为tnvnii12第三节精度估计B）不等精度测量数据的精度估计tnvpniii122tnvpniii12测量数据的单位权标准差的无偏估计例5-3试求例5-1中铜棒长度的测量精度第三节精度估计已知残余误差方程为1999.97