第六章图形变换的矩阵方法

1第六章图形变换的矩阵方法§1概述§2二维图形变换§3三维图形变换本章小结2mnmmnnxxxxxxxxx212222111211该向量集合实际上就是一个矩阵。如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说，我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。§1概述一、空间图形的矩阵表示若用一个行向量[x1x2…xn]表示n维空间中一个点坐标，那么n维空间中m个点坐标就可以表示为一个向量集合：3对于二维空间，用表示图形(其中xiyi是顶点坐标）。nnyxyxyx2211例：如图所示的△ABC，用矩阵表示为133311CBAC(3,1)A(1,1)B(3,3)二、图形变换是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等变换。图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。4因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进行运算来实现，称为矩阵变换法。矩阵变换法的一般形式：坐标矩阵图形顶点原来的·矩阵变换=坐标矩阵图形顶点变换后的本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三维图形的各种变换。5§2二维图形变换分为两类：二维基本变换，二维组合变换。二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换。二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。一、二维基本变换矩阵变换法的形式为：22211nnnyxyxyx·22dcba=22211nnnyxyxyx6通过对变换矩阵T中各元素的不同取值，可以实现各种不同的二维基本变换。㈠比例变换（缩放变换）变换矩阵：daT00设二维平面的一个点坐标为[xy]，对其进行矩阵变换：dybxcyaxdcbayxdybxycyaxx变换后该点的坐标为：7dyaxdayx00dyyaxx即㈠比例变换（缩放变换）其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。根据a、d取值的不同，分为几种情况：⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放⑴当a=d1，图形沿x、y方向等比例放大ABC例：设△ABC对应的矩阵为122100CBA设2002TCBACBA2442002002122100，对△ABC进行变换：A′B′C′8byaxdayx00dyyaxx即㈠比例变换（缩放变换）⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放⑴当a=d1，图形沿x、y方向等比例放大⑵当0a=d1，图形沿x、y方向等比例缩小ABC例：设△ABC对应的矩阵为133144CBA设500050..TCBA......CBA5051515022500050133144，对△ABC进行变换：A′B′C′9byaxdayx00dyyaxx即㈠比例变换（缩放变换）⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放⑴当a=d1，图形沿x、y方向等比例放大⑵当0a=d1，图形沿x、y方向等比例缩小⑶当a=d=1，图形不发生变化图形不变的变换称之为恒等变换。⒉当a≠d，图形产生畸变10，对□ABCD进行变换：byaxdayx00dyyaxx即㈠比例变换（缩放变换）⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放⒉当a≠d，图形产生畸变例：设正方形ABCD的矩阵为20220200DCBA设20051.TDCBA.DCBA404303002005120220200ABCDA′B′C′D′11byaxdayx00dyyaxx即㈠比例变换（缩放变换）⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放⒉当a≠d，图形产生畸变有几种特殊情况：⑴当a、d之一为1，图形沿单方向放大或缩小a=1，d≠1，图形沿y方向放大或缩小；d=1，a≠1，图形沿x方向放大或缩小。⑵当a、d之一为0，图形变换为x轴或y轴上的线段a＝0，d≠0，图形变换为y轴上的线段；d＝0，a≠0，图形变换为x轴上的线段。⑶当a、d均为0，图形压缩为一点（即原点）12㈡对称变换包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。⒈对坐标轴的对称变换⑴对x轴的对称变换1001T变换矩阵yxyx1001yyxx即规则：x坐标不变，y坐标取反。例：设△ABC对应的矩阵为352242CBACBA352242变换后的矩阵为：ABCB′A′C′13㈡对称变换包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。⒈对坐标轴的对称变换⑴对x轴的对称变换⑵对y轴的对称变换1001T变换矩阵yxyx1001yyxx即规则：y坐标不变，x坐标取反。例：设△ABC对应的矩阵为352242CBACBA352242变换后的矩阵为：ABCB′A′C′14㈡对称变换包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。⒈对坐标轴的对称变换⒉对直线的对称变换⑴对直线y=x的对称变换0110T变换矩阵xyyx0110xyyx即规则：x、y坐标互换。例：设△ABC对应的矩阵为314351CBACBA133415变换后的矩阵为：B′A′C′ABC15㈡对称变换包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。⒈对坐标轴的对称变换⒉对直线的对称变换⑴对直线y=x的对称变换⑵对直线y=－x的对称变换0110T变换矩阵xyyx0110xyyx即规则：x、y坐标互换并取反。例：设△ABC对应的矩阵为314351CBACBA133415变换后的矩阵为：B′A′C′ABC16㈡对称变换包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。⒈对坐标轴的对称变换⒉对直线的对称变换⑴对直线y=x的对称变换⑵对直线y=－x的对称变换⑶对任意直线的对称变换属于一种组合变换，需要用多种基本变换组合完成。17㈡对称变换包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换，对坐标原点的对称变换。⒈对坐标轴的对称变换⒉对直线的对称变换⒊对坐标原点的对称变换1001T变换矩阵yxyx1001yyxx即规则：x、y坐标均取反。例：设△ABC对应的矩阵为314351CBACBA314351变换后的矩阵为：B′A′C′ABC18㈢错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。⒈沿x方向错切,101cT变换矩阵,ycyxcyx101yycyxx即其中：c～错切系数。cy～沿x方向的错切量（x坐标沿x方向的移动量）。cy0，沿＋x方向错切（移动）；cy0，沿－x方向错切（移动）；c=0即cy=0，不错切（恒等变换）。19㈢错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。⒈沿x方向错切,101cT变换矩阵,ycyxcyx101yycyxx即例：设矩形ABCD对应的矩阵为10111110DCBA设T中的c＝2，对矩形ABCD进行变换：DCBADCBA12131112120110111110ABCDD′A′B′C′20㈢错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。⒈沿x方向错切,101cT变换矩阵,ycyxcyx101yycyxx即变换特点：①变换后点的y坐标不变，x坐标平移了cy；②平行于x轴的直线变换后仍平行于x轴；③平行于y轴的直线变换后，y=0的点不动(不动点)，y≠0的点沿x方向平移了cy，形成与y轴夹角为θ的直线，且tgθ＝cy/y＝c。ABCDD′A′B′C′cyy21㈢错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。⒉沿y方向错切,101bT变换矩阵,bxyxbyx101bxyyxx即其中：b～错切系数。bx～沿y方向的错切量（y坐标沿y方向的移动量）。bx0，沿＋y方向错切（移动）；bx0，沿－y方向错切（移动）；b=0即bx=0，不错切（恒等变换）。22㈢错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。⒉沿y方向错切例：设矩形ABCD对应的矩阵为11110101DCBA设T中的b＝－2，对矩形ABCD进行变换：DCBADCBA31112121102111110101D′A′B′C′,101bT变换矩阵,bxyxbyx101bxyyxx即ABCD23D′A′B′C′ABCD㈢错切变换（可以理解为沿某个方向的移动）包括两种：沿x方向错切，沿y方向的错切。⒉沿y方向错切变换特点：①变换后点的x坐标不变，y坐标平移了bx；②平行于y轴的直线变换后仍平行于y轴；③平行于x轴的直线变换后，x=0的点不动(不动点)，x≠0的点沿y方向平移了bx，形成与x轴夹角为θ的直线，且tgθ＝bx/x＝b。,101bT变换矩阵,bxyxbyx101bxyyxx即bxx24㈣旋转变换二维图形的旋转，一般是指图形绕坐标原点的旋转。并规定：①逆时针方向旋转时角度θ取正值；②顺时针方向旋转时角度θ取负值。cossinsincosT变换矩阵]cossinsincos[cossinsincos][yxyxyxcossinsincosyxyyxx注意：绕非原点的任意一点的旋转变换属于组合变换。25㈣旋转变换二维图形的旋转，一般是指图形绕坐标原点的旋转。并规定：①逆时针方向旋转时角度θ取正值；②顺时针方向旋转时角度θ取负值。设θ=30°86605050866030303030....cossinsincosTcossinsincosT变换矩阵例：设矩形ABCD对应的矩阵为5105120200..DCBAABCDD′A′B′C′旋转变换后的矩阵为DCBA.....299175029929820173210026对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种基本变换进行小结：变换矩阵的