行列式(线性代数教程)

广州铁路职业技术学院（ZHOU）线性代数行列式.矩阵的概念和运算.逆矩阵.矩阵的初等变换.一般线性方程组.广州铁路职业技术学院（ZHOU）7.1行列式主要内容：1.二阶行列式.2.三阶行列式.3.n阶行列式.4.行列式的性质.5.克莱姆法制.广州铁路职业技术学院（ZHOU）•我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算．考虑二元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa一、二阶行列式广州铁路职业技术学院（ZHOU）如果那么方程组的解为021122211aaaa211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx广州铁路职业技术学院（ZHOU）如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表引入记号||22211211aaaa那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为2112221122211211aaaaaaaa此式的右端称为二阶行列式的展开式aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列．广州铁路职业技术学院（ZHOU）5253)1(2222cossinsincos)2(52531）解：（442222sincoscossinsincos)2(2cos)sin)(cossin(cos2222例1计算下列各行列式-5=(-2)×5×(-3)广州铁路职业技术学院（ZHOU）类似地，三元线性方程组二、三阶行列式333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa广州铁路职业技术学院（ZHOU）的系数所构成的行列式规定为333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式．323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa广州铁路职业技术学院（ZHOU）三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号．这种展开法称为对角线展开法．这种展开法称为对角线展开法广州铁路职业技术学院（ZHOU）下面介绍三阶行列式的展开式：333231232221131211aaaaaaaaa131312121111AaAaAa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa广州铁路职业技术学院（ZHOU）其中A11、A12、A13分别称为a11、a12、a13的代数余子式，333223221111)1(aaaaA333123212112)1(aaaaA323122213113)1(aaaaA广州铁路职业技术学院（ZHOU）例2计算下列三阶行列式：211121112)1(333231222111000)2(aaaaaa2111211121）解：（2111211124111111222广州铁路职业技术学院（ZHOU）333222113332312221110000)2(aaaaaaaaaa332211aaa广州铁路职业技术学院（ZHOU）三、n阶行列式一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，……，依此类推，一般地，可以用n个n-1阶行列式来定义n阶行列式，下面给出n阶行列式的定义：定义设n-1阶行列式已经定义，规定n阶行列式nnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD1112121111212222111211.......广州铁路职业技术学院（ZHOU）其中A1j=(-1)1+jM1jnnn,jn,j-nn,j,j-n,j,j-ijaaaaaaaaaaaaM11131313312121221(j=1,2,………n)这里M1j为元素a1j的余子式，即为划掉A的第1行第j列后所得的n-1阶行列式，A1j称为a1j的代数余子式．广州铁路职业技术学院（ZHOU）由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式．这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开．53480162501740024D计算例广州铁路职业技术学院（ZHOU）解因为a12=a13=0所以由定义14141111AaAaD348162017)1(4534016501)1(24111]3416(-1)55301(-1)2[131118)]-(6-4)-4(7(18-4)]-5(182[5250]3812(-1)13416(-1)7[42111广州铁路职业技术学院（ZHOU）例4计算行列式.nnnnnaaaaaaD21222111000广州铁路职业技术学院（ZHOU）解由定义，将Dn按第一行展开，得nnnnnaaaaaaaD3233322211000nnnnaaaaaa.......00000022112211同理可得nnnnaaaaaaaa434443332211000nnaaa...............2211广州铁路职业技术学院（ZHOU）行列式D与它的转置行列式DT的值相等．如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和．nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211四、行列式的性质性质1性质2广州铁路职业技术学院（ZHOU）如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD．也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反．如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零．如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数k，使ali=kalj(l=1,2…n)．性质3性质4推论性质5广州铁路职业技术学院（ZHOU）3333222211112226babababababa计算例333322221111222babababababa解：000333222111333222111222222babbabbabbaabaabaa广州铁路职业技术学院（ZHOU）如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等．由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（r）代表行，（c）代表列．2.把第i行（或第i列）的每一个元素加上第j行（或第j列）对应元素的k倍，记作（ri）+k（rj）[或（ci）+k（cj）]．3.互换i行（列）和j行（列），记作（ri）↔（rj）[或（ci）↔（cj）]．性质6广州铁路职业技术学院（ZHOU）92111-121-41112-231-7计算例92111-121-41112-231-解：744011-1-023402-231-)()()()()()(141312rrrrrr04320-1-110447广州铁路职业技术学院（ZHOU）1100061-0011-1-02-231-)(4)()(4)(2423rrrr7440234011-1-02-231-)()(32rr1100-1600011广州铁路职业技术学院（ZHOU）baaaabaaaabaaaab计算例8baaaabaaaabaaaab解：baaaabaaaabaababababrrrr3333)()()()(4321广州铁路职业技术学院（ZHOU）baaaabaaaabaab1111)3(3))(3(abab)3(0000000001111)()()()()()(141312ababababrarrarrar广州铁路职业技术学院（ZHOU）行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1,2,…,n）．行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+…+ajnAin=0（i,j=1,2,…,n,i≠j）．例８按第三行展开计算行列式011111101101--dcba----性质7推论广州铁路职业技术学院（ZHOU）011111101101--dcba----解：d2cb-3a011-11-01-1-1b(-1)011-11-1-1-1-0)1(2313a11-1-1-1-01-01d(-1)01-1-11-01-01c(-1)4333广州铁路职业技术学院（ZHOU）设n元n个方程组为)1(22112222212111212111　　nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa其系数行列式为nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211五、克莱姆法则.广州铁路职业技术学院（ZHOU）在系数行列式D中第j列的元素依次改换为b1，b2，…bn，得到的行列式记作Dj，即：nnn,jnn,j-nn,j,j-n,j,j-aabaaaabaaaabaa1113122122121111111jD广州铁路职业技术学院（ZHOU）关于线性方程组（1）的解有下述法则：当线性方程组（1）的系数行列式D≠0时，该方程组有且只有唯一解：),,2,1(njDDxjj例９用克莱姆法则解方程组020346223523143214321421xxxxxxxxxxxxx克莱姆法则广州铁路职业技术学院（ZHOU）解因为0102113421232011D0100113221212011)(2)(31cc1-322-2121-1(-1)(-1)345-504-3021-1)(2)()()(1312rrrr55-54-30广州铁路职业技术学院（ZHOU）经计算还可得到1001001130212620151D1501021104216320512D广州铁路职业技术学院（ZHOU）2000021034262325113D2501020134612350114D020346223523143214321421xxxxxxxxxxxxx广州铁路职业技术学院（ZHOU）方程组的解为251011DDx351522DDx452033DDx552544DDx广州铁路职业技术学院（ZHOU）１、行列式的概念.２、行列式的性质.３、行列式的计算.七、小结作业4、克莱姆法则