行列式的计算与应用

1第二节行列式的计算与应用【教学内容】行列式的计算，克莱姆法则。【教学目的】掌握拉普拉斯展开定理；会利用行列式的性质计算行列式。【教学重点】1．拉普拉斯展开定理；2．克莱姆法则。【教学难点】利用行列式的性质变换行列式【教学时数】2学时【教学进程】一、行列式的计算定理9.1（拉普拉斯展开定理）行列式D中任一行（列）的各个元素与其代数余子式的乘积之和等于行列式的值．例如，111213212223111112121313313233aaaDaaaaAaAaAaaa（按第一行展开）212122222323aAaAaA（按第二行展开）131323233333aAaAaA（按第三列展开）推论行列式D中任一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零．例如，若111213111213313233aaaDaaaaaa，则有1121122213230aAaAaA．例1将行列式3932104284按第三列展开，并计算．解31323339321039392104314141282821028431620424184301812例2计算521070839D．2解1112135217000070705(1)2(1)1(1)3989838395(63)20156259（按第一行展开）113152170210705(1)8(1)39708395(63)8(7)259（按第一列展开）22521510707(1)7(458)25989839（按第二行展开）提问：如何展开计算方便？例3计算行列式14233241000000000000aaaa．解1423233214131432142332414141000000000(1)00(1)000000000aaaaaaaaaaaa14233241aaaa（比较：按第一行展开与按其它行列展开）提问：如何计算12,11000000nnnaaa的值？提示：12,12,13,2111100000000(1)0000nnnnnnnnaaaaaaa3,24,3(1)[1(1)]12,110000(1)00nnnnnnnaaaaa31,2(1)[1(1)](13)12,12,310(1)0nnnnnnnaaaaa(1)[1(1)](13)(12)(11)12,12,31,21(1)nnnnnnnaaaaa(123)12,12,31,21(1)nnnnnnnaaaaa(1)(3)2212,12,31,2112,12,31,21(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa例4计算111353734232625解2131111101100353734352343521232625233252332cccc21351352100732232233本题方法：通过行列变换使得某行或某列只有一个元素非零，再用展开定理．提问：如何通过行列变换转换成上三角行列式计算？例5计算行列式19435532126119021．解3419431923553255122126111263190219001Dcc44144289232892135129113512163121630001cc按第行展开1232210210213513135121631990rrrr23213112918136189按第列展开4提问：如何通过行列变换转换成上三角行列式计算？总结行列式计算方法：对角线法则（二阶、三阶行列式）直接使用展开定理行列变换某行(列)只有一个元素非零展开定理行列变换上三角行列式（下三角行列式）主对角线元素的乘积课堂练习：计算下列行列式（1）41241202105200117；（2）2141312112325062；（3）222111abcabc；（4）100110011001abcd解(1)0；(2)0；(3)()()()abbcca；(4)1abcdabcdad．二、克莱姆法则含有n个未知数12,,nxxx的n个线性方程的方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（非齐次线性方程组）将线性方程组的系数组成的行列式记为D，即111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa用常数项12,,nbbb代替D中第j列，组成的行列式记为jD，即11111111212122121111,2,jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDjnaabaa定理9.２（克莱姆法则）若线性方程组的系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa5则此方程组有唯一解1212,,,.nnDDDxxxDDD例６解线性方程组123122325135231xxxxxxx解因为21513011023D12311521521153011,15022,13511123013021DDD所以3121231,2,1.DDDxxxDDD111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（齐次线性方程组）推论若齐次线性方程组的系数行列式0D，则此方程组只有零解．如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D必等于零．例７问为何值时，齐次线性方程组120320xyxy只有零解．解当0D时，方程组只有零解，由12(1)(2)632D即得(1)(2)602340得1,4．所以1,4时，方程组只有零解．课堂练习：问为何值时，齐次线性方程组12312312312402(3)0(1)0xxxxxxxxx只有零解．解0,2,3时，方程组只有零解．6本堂课小结：主要内容：行列式的计算，克莱姆法则重点：拉普拉斯展开定理；克莱姆法则难点：利用行列式的性质变换行列式作业：Ｐ2363(2)，4，5，6，7，8