第十四章—刚体平面运动(工程力学).

第14章刚体平面运动xy'x'yo'oMv14.1点的合成运动通过观察可以发现，物体对一参考体的运动可以由几个运动组合而成。例如，在上述的例子中，车轮上的点M是沿旋轮线运动，但是如果以车厢作为参考体，则点M对于车厢的运动是简单的圆周运动，车厢对于地面的运动是简单的平移。这样，轮缘上一点的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢对地面作平移。于是，相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。MMjRoj习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，以o'x'y'坐标系表示。14.1.1相对运动·牵连运动·绝对运动用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参考系，区分三种运动：(1)动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动；(2)动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；(3)动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。定参考系动参考系动点牵连运动一点、二系、三运动14.1.1相对运动·牵连运动·绝对运动(1)动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。(2)动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹。14.1.1相对运动·牵连运动·绝对运动由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系作平移，否则其上各点的运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连加速度(用ae表示)。如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运动就是它的绝对运动；动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合成。14.1.2点的速度合成定理rMrO'r'M(M')O'j'k'i'y'z'x'xyzOMOrrrxyzr=ijkMMrrddrxyztrv==ijk动系上与动点重合的点(牵连点)在定系中的矢径记为rM'，在图示瞬时有相对速度vr是动点相对于动参考系的速度，因此i'、j'、k'是常矢量。这种导数称为相对导数。动点的相对速度vr为14.1.2点的速度合成定理rMrO'r'M(M')O'j'k'i'y'z'x'xyzOddMeOxyztrv==rijkddMaOerxyzxyztrv==rijk+ijk=vv动点的牵连速度ve为牵连速度是牵连点M'点的速度，该点是动系上的点，因此它在动系上的坐标x'、y'、z'是常量。动点的绝对速度va为aervvv即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。14.1.2点的速度合成定理处理具体问题时应注意：(1)选取动点、动参考系和定参考系。(2)应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。14.1.2点的速度合成定理在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。通常选动点和动系主要有以下几种情况：1.有一个很明显的动点，在题中很容易发现；2.有一个不变的接触点，可选该点为动点；3.没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确定的点为动点；4.必须选某点为动点，而动系要取两次；5.根据题意，必须取两次动点和动系；6.两个不相关的动点，可根据题意来确定；14.1.2点的速度合成定理例1如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度w绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。ABeCOqwvevavrqcotaeevvOAeOAqwwtaneavvq解：因为杆AB作平动。选取杆AB的端点A作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕O轴的转动。例2刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为w，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度w1。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122sinsin()eaevvrrvOAlrjwjww2221122()rOAlrlrwwjAO1OwBjvevavr此处有影片播放例3水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：jjsinsinuvveasineavvjuABOMrjvrvave例4求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设OA=a,AC＝b。解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有vAqBCOvavevrvCsinsineavvvqqwOCsineOCvvOAaqwsinCOCabvOCvawqaervvv例5图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度w绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e，OC与水平线的夹角为a，试求当a=45°时，顶杆AB的速度。解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。coscos4522eavveeawwvavevraervvv例6AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动，两条杆的夹角为a，求套在两杆上的小环M的速度。αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取M为动点，CD为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos)/sinrrvvvvvvaaaa将等式两边同时向y轴投影：则动点M的绝对速度为：222212222221212cos()sin12cossinaervvvvvvvvvvaaaa=αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例7在水面上有两只舰艇A和B均以匀速度v=36km/h行驶，A舰艇向东开，B舰艇沿以O为圆心、半径R=100m的圆弧行驶。在图示瞬时，两艇的位置S=50m,Φ=30°，试求：（1）B艇相对A艇的速度。（2）A艇相对B艇的速度。东北ΦBAROS东北Φ=30°BAROSVe1Va1Vr130°30°36(/)10(/)ABvvvkmhms解：(1)求B艇相对于是A艇的速度。以B为动点，动系固连于A艇。由图（b）的速度矢量111Baervvvv110(/),BAevvvms12cos3017.32(/)rvvms(2)求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。smvOAve/5502wsmva/1022222211.2/rervvvms5.0105tan22aevva‘3426a东北Φ=30°BAROSVa2Vr2Ve2α可见，A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度。OABAvBvR例9如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶，车B沿直线道路以匀速行驶，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的速度。hkmvA45hkmvB60解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216.07545sin11rAvva9.361aOABAvBvRev1rv1axy（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxywev2rv2asradRvA/083.0150360010453wskmsmve/54/15083.0180hkmvvveBr/72.80222669.072.8054sin22revva422a14.1.3点的加速度合成定理rO'O'j'k'i'y'z'x'xyzO设动参考系O'x'y'z'以角速度we绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k'的端点A的矢径为rA，则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即ArAweddAAeAtrvrwAOrrkedd()ddOOttrkrkweddOOOtrvrweddtkkw14.1.3点的加速度合成定理同样可得i'、j'的导数。eeeddddddtttijki,j,kra==ijk22ddMeOxyztra==rijk22dd2()2()MaOerxyztxyzxyzxyzra==rijk+ijk+ijkaaijkrMrO'r'M(M')O'j'k'i'y'z'x'xyzO14.1.3点的加速度合成定理点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。eeeee2()2[()()()]2()2rxyzxyzxyzijkωiωjωkωi+jkωvaerer2aaaωvCer2aωv令,称为科氏加速度，于是有aerCaaaa14.1.3点的加速度合成定理qwevraCCer2aωv科氏加速度等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。aC大小为Cer2sinavwq其中q为we与vr两矢量间的最小夹角。矢aC小垂直于we和vr，指向按右手螺旋法则确定。工程中常见的平面机构中we和vr是垂直的，此时aC=2wevr；且vr按we转向转90°就是aC的方向。14.1.3点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，we=0，因此aC=0，此时有aeraaa当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。例10图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R＝OA＝10cm，已知曲柄绕轴O以匀速n＝120rpm转动，求当j＝30°时滑道BCD的速度和加速度。njROO1ABCDjvavrve解：取滑块A为动点，动系与滑道BCD固连。求得曲柄OA转动的角速度为4rad/s30nwaervvv125.6cm/s125.6cm/s125.6cm/saeraBCDevOAvvvvvw120°30°hAOO1ABCDj分析加速度得artaearnaan22n2rr1125.61579cm/s10vaOAn2aa22(4)101579cm/saaOAwntaerraaaa将加速度向h轴上投影有：nare22cos6015790.515