第四章傅立叶分析

第四章傅立叶分析第四章傅立叶分析期望、均方值幅值域方差、标准差(联合)概率密度函数(联合)概率分布函数时差域频域：应用傅立叶分析手段自相关函数互相关函数4.1傅立叶级数4.2傅立叶级数的复数形式4.3傅立叶变换及其性质4.4δ函数及其性质4.5几个常用函数的傅立叶变换(1)0001()(cossin)2nnnaxtantbnt4.1傅立叶级数一个周期为T的周期信号x(t),只要在其周期内满足狄利克雷条件，都可展成傅立叶级数的形式狄氏条件：（1）函数连续或只有有限个第一类间断点（2）函数只有有限个极值点/20/22()cosTnTaxtntdtT/20/22()sinTnTbxtntdtT220)(2TTdttxTa(2)式中ω0=2π/T称为基频(1)0001()(cossin)2nnnaxtantbnt信号x(t)的另一种形式的傅里叶级数表达式为式中001()cos()2nnnaxtAnt22()nnnnnnAabbarctgaT20)cos(101tA基频基波)cos(0nntnA谐波(3)以nω0为横坐标，分别画出代表an和bn或An和φn的竖向线的变化，所得图形称为信号x(t)的频谱图。例1:求图示周期方波信号x(t)的傅里叶级数展开。解：信号x(t)在它的一个周期中的表达式为：T/2tx(t)1-1-T/21,02()1,02TtxtTt根据式(2)有：/20/20/200/200/20/200002()sin2(1)sinsin211cos(cos)21cos4,1,3,5,0,2,4,6TnTTTTTbxtntdtTntdtntdtTntntTnnnnnnn0naω0=2π/T000411()(sinsin3sin5)35xtttt所以根据式(1)，便可得图示周期方波信号的傅里叶级数表达式为：其幅值谱如下图所示:T20基频000011()(cossin)sin2nnnnnaxtantbntbnt项数增加时逼近x(t)的情况4.2傅里叶级数的复指数形式根据欧拉公式：把它们代入式(1)11cos(),sin(),22jtjtjtjtteeteej(1)0001()(cossin)2nnnaxtantbntcos()sin()jtetjtcos()sin()jtetjt令00000111()()()222jntjntjntjntnnnaxtaeebeej0011(),(),222nnnnnnaCajbCajbC11cos(),sin(),22jtjtjtjtteeteej0001()(cossin)2nnnaxtantbnt得：000111()()()222jntjntnnnnnaxtajbeajbe公式可以重写为或00011()1,2,3jntjntnnnnxtCCeCen0()0,1,2,jntnnxtCen0011(),(),222nnnnnnaCajbCajbC000111()()()222jntjntnnnnnaxtajbeajbe复振幅的确定：220022222()cos()sinTTnnnTTCajbxtntdtjxtntdtTT02002222()(cossin)2()TTTjntTxtntjntdtTxtedtT0221()TjntnTCxtedtT故：1()2nnnCajb0221()TjntnTCxtedtTdttxTCTT220)(1已得：同理由：0221()TjntnTCxtedtT将以上三式归纳到一起：0221()TjntnTCxtedtT2,1,0n1()2nnnCajb002aC0()0,1,2,jntnnxtCen傅立叶级数两种形式之间的关系（阅读）（1）傅立叶级数的两种表现形式，在本质上是一样的，有时采用复数形式比较方便。n阶谐波在实数形式中的表达式和在复数形式中的表达式等价（2）n阶谐波的幅值在实数形式中为在复数形式中的复振幅为tjnntjnnnneCeCtnbtnasincos22nnnbaA)(21nnnjbaC)(21nnnjbaC)(41222nnnbaC2221nnnbaC22nnnbaA)2122nnnbaC复振幅的模正好为实振幅模的一半3、在实数形式中，n阶谐波的幅值、相角的图形：其中幅值为，相角为22nnnbaAnnnab1tann阶谐波的幅值相角图n阶谐波的实数表示可以看成一个以角频率ω旋转的向量在横坐标上的投影。当t＝0时，其大小为：)cos(nntnAnnnnnnnnnnnabaabaabAA22221)cos(tan)cos()cos(nntnAtnbtnannsincos)cos(nntnAn阶谐波的复数表示为：tjnntjnneCeCn阶谐波的复数表示为：tjnntjnneCeC它是以nω（逆时针）和－nω（顺时针）以相反方向旋转的两个向量Cn和C-n的向量和。t＝0时，其向量和也是ann阶谐波的复数表示共轭复数的实部都是，虚部分别为2na2na2nb2nbnjnneCCnjnneCC2nnnACC此外，复数形式还可以表示为：)(21nnnjbaC)(21nnnjbaC两个向量Cn和C-n模相等，相角差一负号4.3傅立叶变换及其性质傅立叶级数是针对周期函数进行的分析，随机信号均为非周期函数。对于非周期函数，一般可以看成是由周期为T的函数，当T趋于无穷时转化而来。其中(a)(b)4.3.1非周期信号的频域描述设x(t)为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数，则它可表示为傅里叶级数的形式：0()jntnnxtCe0/2/21()TjntnTCxtedtT将式(b)代入式(a)可得(c)00/2/21()()TjntjntTnxtxtedteT显然，当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，且频率间隔Δω=ω0=2π/T为无穷小量，离散频率nω0变成连续频率ωdω/2π=1/T(a)(b)0()jntnnxtCe0/2/21()TjntnTCxtedtT将式(d)中括号内的积分记为则有由式(c)得到()()21()2jtjtjtjtdxtxtedtextedted(e)()()jtXxtedt(f)1()()2jtxtXed(d)(c)00/2/21()()TjntjntTnxtxtedteTx(t)和X(ω)之间的这种关系经常表示如下：()()xtX将X(ω)称为x(t)的傅里叶变换，将x(t)称为X(ω)的傅里叶逆变换。若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式(e)和(f)分别为(g)2()()jftXfxtedt(h)2()()jftxtXfedf(e)()()jtXxtedt(f)1()()2jtxtXedω=2πf1).从公式(e)和(f)易知,与周期函数的情况不同,非周期函数的频谱是连续的而不是离散的。2)X(f)一般为实变量f的复函数，故可写为如下形式()()()jfXfXfe|X(f)|或|X(ω)|称为非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)或φ(ω)称为x(t)的相位谱。图示矩形脉冲函数（又称窗函数）的解析表达式为1,()20,TTtgt其它求其频谱)2sin(2)(1)()(2/2/22TeejdtedtetgGTjTjTTtjtjTT)2sin(2)(TGTTnnTT220)2sin(注意：不是所有的非周期函数都能进行傅氏变换，只有满足绝对可积的函数才能进行傅氏变换，傅氏变换的条件：dttf)(4.3.2傅里叶变换的性质1.线性2.对称性5.尺度变换性3.奇偶性4.时域平移定理6.时域微分定理8.帕塞瓦尔定理（能量积分）7.时域积分定理1.线性如果11()()xtX则1212()()()()axtbxtaXbX22()()xtX2.对称性(阅读）()()xtX则()2()Xtx如已知x(t)的傅氏变缓X(ω)，则信号X(t)的傅氏变换可以立即得到，而不需要重新计算。如果有对称性证明：)(2)]([xtXF)]([)()(2)()(2)()(2)(21)(tXFdtetXxdeXtxdeXtxdeXtxtjtjtjtj交换积分变量)()]([fxtXF[()]()FxtXf3、奇偶性（掌握）若f(t)是实函数，其傅立叶变换一般是复数，其实部是偶函数，虚部是奇函数dtttfjdtttfdttjttfdtetfFtjsin)(cos)()sin)(cos()()(dtttfjdtttfdttjttfdtetfFtjsin)(cos)()sin)(cos()()()()(eeRR)()(mmII*()()FF若f(t)为实、偶函数，F(ω)为ω的实、偶函数；dtttfdtttfjdtttfdtetfFtjcos)(sin)(cos)()()(dtttfdtttfjdtttfdtetfFtjcos)(sin)(cos)()()(偶函数乘以奇函数为奇函数，在整个积分区域内的积分为零)()(FF故F(ω)为ω的实、偶函数同理可证：若f(t)为实、奇函数，F(ω)为ω的虚、奇函数。若f(t)为实、偶函数，F(ω)为ω的实、偶函数；4.时域平移性（掌握）如果有00()()jtxttXe()()xtX则所以：函数在时间上延迟一段时间，其傅立叶变换的模并未改变，只是相角发生了变化，其变化的大小随频率不同，是频率的线性函数。时域平移定理的证明：如：则：时域平移定理示意图掌握：四个车轮：路面不平度函数，此时自变量由时间变为长度，频率将由时间频率f变为空间频率n；相同侧的前后轮的路面不平度只相差一个轮距。1()()qlxl2()()qlxlL3()()qlyl4()()qlylL1[()][()]()FqlFxlXn22[()][()]()jnLFqlFxlLXne3[()][()]()FqlFylYn24[()][()]()jnLFqlFylLYne时间频率f：单位时间（1秒内）振动的次数空间频率n：单位长度（1米内）波长的个数00020[()]()[()]()jtjftFxttXeFxttXfe5尺度变换性(阅读)如果有()()xtX1()xatXaa