第四章§211222223利用函数性质判定方程解的存在

1、§2实际问题的函数建模2．1实际问题的函数刻画2．2用函数模型解决实际问题2．3函数建模案例1．问题导航(1)根据实际问题，选用适当函数模型刻画变量间的关系；(2)根据所给函数模型，解决实际问题；(3)根据散点图，确定拟合函数．2．例题导读(1)P123例1.通过本例学习，掌握构造函数模型，解决实际优化问题．(2)P123例2.通过本例学习，掌握利用散点图确定拟合函数，并用待定系数法求出拟合函数．1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画，用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．1．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由f(m)＝3.71，0m≤4，1.06·（0.5[m]＋2），m4给出，其中[m]是不超过m的最大整数，如：[3.74]＝3，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(单位：元)()A．3.71B．4.24C．4.77D．7.95解析：选C.f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝4.77.2．下表显示。

2、出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x－2－10123y11614141664A.一次函数模型B．二次函数模型C．对数函数模型D．指数函数模型解析：选D.y＝4x.3．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户要获利最大，则这种货()A．月初售出好B．月末售出好C．月初或月末售出一样D．由成本费的大小确定解析：选D.设这种货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%，若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)，则100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．所以当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．故选D.4．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图像如图所示．则y与x之间的函数关系式为________．解析：当x100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由。

3、图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则有40＝100k＋b，60＝200k＋b，解得k＝15，b＝20，所以解析式为y＝15x＋20，故所求函数关系式为y＝25x，0x≤100，15x＋20，x100.答案：y＝25x，0x≤100，15x＋20，x100常见的函数模型(1)直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其增长特点是直线上升(x的系数k0)，通过画图可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b0，b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b1，a0)，通常形象地称为指数爆炸．(3)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m≠0，a0，a≠1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a1，m0)．(4)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)．(5)反比例函数模型：y＝kx(k0)型，增长特点是y随x的增大而减小(x0)．在以上几种函数模。

4、型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等．表格信息类建模问题某国2011年至2014年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2011201220132014x(年)0123生产总值(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2015年该国的国内生产总值．(链接教材P120问题1、P123例2)[解](1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解方程组，可得k＝0.6777，b＝8.2067.所以它的一个函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.6777x＋8.2067，计算出2012年和2013年的国内生产总值分别为f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝。

5、8.8844，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2015年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，即预测2015年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元．方法归纳(1)根据表格信息，画出图像；(2)根据图像特征，选定函数模型；(3)用待定系数法求出函数解析式；(4)检验模型．1．(1)今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51.218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－2(2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.。

6、288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)解析：(1)取t＝1.99≈2，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B得v＝log122＝－1≠1.5；代入C得v＝22－12＝1.5；代入D得v＝2×2－2＝2≠1.5.故选C.(2)高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，因为这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．答案：(1)C(2)148.4图像信息解读问题如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？。

7、[解](1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．方法归纳(1)这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．(2)挖掘图像中的信息是关键．2．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？解：由图可知M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则fA(x)＝98，0≤x≤60，310x＋80，x60；fB(x)＝。

8、168，0≤x≤500，310x＋18，x500.(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝310＝0.3(元)(n500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图知，当0≤x≤60时，有fA(x)fB(x)．当x500时，fA(x)fB(x)，当60x≤500时，由fA(x)fB(x)，得x8803，因此当通话时间大于8803分钟时，方案B比方案A优惠．实际生活中的优化问题A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？(链接教材P123例1)[解](1)由题意设甲城的月供电费用为y1，y1＝λ×20x2，设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10。

9、×(100－x)2，所以甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.因为λ＝0.25，所以y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(2)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25000＝152(x－1003)2＋500003.则当x＝1003km时，y最小．故当核电站建在距A城1003km时，才能使供电总费用最小．在本例(2)中“若要求供电总费用不得超过2万元，试求核电站距A城距离的范围”，该如何求解．解：由本例(1)得5x2＋52(100－x)2≤20000(10≤x≤90)，即x－10032≤40009，解得0≤x≤100＋20103，又10≤x≤90，所以x∈[10，100＋20103]，故核电站距A城距离的范围是[10，100＋20103]．方法归纳函数模型在实际问题中应用的三种常见情形：(1)利用给定的函数模型解决实际问题．其关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系，最后结合其实际意义作出解答．(2)建立确定性函数模型解决问题．其关键是抓住几个步骤：一是读懂题意；二是正确建立。

10、函数关系；三是转化为函数问题解决；四是做好最后结论的回答．(3)建立拟合函数模型解决实际问题．大多数实际问题都不能事先知道函数模型，需要通过科学观察和测试得出一些数据，画出散点图，根据散点图的形状通过函数拟合的方法确定．3．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N＋)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)的解析式，并指出它们的定义域；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？说明理由．解：(1)由题意知，P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，其定义域为{x|x∈[1，100]，且x∈N＋}；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4。