西安建筑科技大学线性代数期末模拟试题5

西安建筑科技大学线性代数期末模拟试题5一．填空题：（1）设三阶方阵的3个特征值为，则_________，的特征值为_________，的特征值为_______，的特征值为______.（2）已知的特征值则_______.（3）设为阶方阵，有非零解，则必有一个特征值为_______.（4）是方阵的属于特征值的特征向量，则对应于特征值的特征向量为_________.（5）设为三阶方阵，满足则______.（6）若阶可逆阵的每行元素之和均为，则数_____一定是的特征值。（7）若与∧相似，则______，______，______.（8）二次型的矩阵为______.（9）设，设则______.（10）若二次型正定，则满足______.（11）是阶方阵，且则和相似，这是因为存在可逆阵______，使.（12）是阶方阵，是的三重特征值，是的对应于的线性无关的特征向量的个数，则的取值是______.二．选择题：（1）设阶方阵与有相同的特征值，则下列说法正确的是（）（A）与相似（B）存在对角阵∧，使，都相似于∧（C）存在正交阵，使（D）（2）设是非奇异方阵的一个特征值，则有一个特征值为（）（A）（B）（C）（D）（3）设是阶方阵，是的特征值，对应的特征向量分别为，则下列结论正确的是（）（A）时，的分量成比例（B），则（C）时不可能是的特征向量（D），若也是特征值，则对应特征向量是（4）设三阶方阵的特征值为，，则为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（5）设是阶方阵，且为正整数），则（）（A）=0（B）有一个不为零的特征值（C）的特征值全为零（D）有个线性无关的特征向量（6）可逆矩阵的列向量是阶方阵的属于特征值的特征向量，则（）（A）（B）（C）（D）为的基础解系（7）下列二阶矩阵可对角化的是（）（A）（B）（C）（D）（8）设是阶方阵，且与相似，则（）（A）（B）与有相同的特征值与特征向量（C）与都相似于一个对角阵（D）对任意常数相似（9）设则与合同的矩阵是（）（A）（B）（C）（D）(10)二次型为正定二次型的充要条件是（）（A）（B）负惯性指数为（C）的所有对角元（D）合同于单位阵I（11）当满足（）时，二次型为正定二次型（A）（B）（C）（D）三．计算证明题：（1）设三阶方阵满足，且，=，，求矩阵.（2）设求为正整数）.（3）设三阶方阵的特征值为，求.（4）设三阶矩阵的特征值为,对应的特征向量为又向量①将用线性表示;②求为自然数）.（5）设，试由的特征多项式和特征值写出的特征多项式和特征值.（6）设，且试求.（7）设方阵满足，试证的特征值只能是1或.（8）若任一维非零列向量都是阶方阵的特征向量，证明是数量阵.（9）阶实对称阵的特征值为，是属于的单位特征向量，证明的特征值是.（10）三阶方阵的行列式=，且三维向量是齐次线性方程组的一个基础解系，证明可对角化，并找出的相似对角阵.（11）设为二阶实矩阵，且，则可对角化.（12）求一个正交变换，将二次型化为标准形，并判断是否为否定二次型.（13）已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程，求的值和正交矩阵.（14）二次型通过正交变换化为标准形①求的值.②求所用的正交变换③若上述的二次型为正定二次型，问应取怎样的值.（15）设为奇数阶实对称阵，且，证明存在非零维向量，使.（16）设是阶正定矩阵，证明的行列式大于.（17）设为阶实对称阵，且，证明是正定矩阵.(18)设为正定矩阵，，且，证明是正定矩阵.（19）已知为实反对称矩阵，证明：可逆且正定.（20）设是实矩阵，且，证明为正定矩阵的充要条件是