第四讲+微分方程(2013基础班第四章)

第四讲微分方程一、微分方程的基本概念1.定义含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程yxy23xyyye2()0yxdyxdx0yy20yx0y微分方程中必须含有导数或微分！2.微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶（一阶）（一阶）（二阶）（二阶）（二阶）（三阶）第四讲微分方程3.微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解4.微分方程的通解如都是的解333,3,333xxxyyxyC20yx微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同如是的通解3123xyCxC20yx5.微分方程的特解确定了通解中任意常数以后的解如都是的特解33,333xxyyx20yx第四讲微分方程6.初始条件（初值问题）用来确定任意常数的条件，从而求出微分方程的特解（唯一的）求微分方程满足的特解20yx(0)0(0)1yy3123xyCxC由前面可知是的通解20yx带入，得(0)0y20C又21yxC带入，得(0)1y11C33xyx所以满足所给初始条件的特解为第四讲微分方程例已知一曲线上任一点处的切线斜率等于，且该曲线通过点，求该曲线的方程.(,)Pxy2x(0,1)解：设所求曲线方程为，()yfx(0)1f2yxdx2yx313yxC由导数的几何意义，得这是一个微分方程，它满足初始条件将上述微分方程两边取积分，得则代入初始条件(0)1f得1C即所求曲线方程为3113yx注：通过上面这个简单的例子，我们可以发现在求解微分方程的时候，利用求积分是一个简单有效的方法，这是因为微分和积分原来就是一个“互逆”的过程。第四讲微分方程二、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为，下面我们仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程.(,,)0Fxyy1.可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程可化为(,,)0Fxyy则该方程称为可分离变量的微分方程.()()gydyfxdx()()dyfxgydx或者解法：将方程两端取积分，得()()gydyfxdx()()gydyfxdx()()GyFxC若分别为的原函数，则方程的通解为(),()GyFx(),()gyfx第四讲微分方程22(1)(1)0yxdyxydx例1解：分离变量22(1)(1)yxdyxydx2211yxdydxyx两边积分2211yxdydxyx22221111(1)(1)2121dydxyx即22111ln(1)ln(1)ln222yxC22(1)(1)xyC方程通解为注：1.为了化简方便，不定积分中的常数C可以适当的改写；2.微分方程的通解可以是隐函数（方程），有时候显化会使得解析式变得复杂。第四讲微分方程xyedydx例2解：分离变量yxedyedx两边积分yxedyedx即yxeeC方程通解为yxeeCln()xyCe也可以写成2yxy例3解：分离变量2dyxdxy两边积分2dyxdxy即21lnyxC21xCye21xCye21Cxee方程通解为因为为任意常数，把它记作，1CeC2xyCe第四讲微分方程注：上题的解答过程很具有一般性，当原函数中含有对数时，常常需要这样的简化过程，我们可以约定简化写法如下：(())()()dGyFxdxGy如果有则有ln()()lnGyFxC即()()FxGyCe2dyxdxy如上题可以这样写2lnlnyxC2xyCe0xdyydx例4解：分离变量dydxyx两边积分dydxyx即lnlnlnyxC方程通解为yCx第四讲微分方程tan,()44ydxxdyy例5解：分离变量cotdyxdxy两边积分cotdyxdxy即lnlnsinlnyxC方程通解为sinyCx带入()44y得42C满足初始条件的特解为42sinyx第四讲微分方程2.齐次微分方程如果一个一阶微分方程可化为(,,)0Fxyy则该方程称为齐次微分方程（齐次方程）.()dyydxx例如方程22()xxydyydx22dyydxxxy可以化为2()1yxyx解法：令yux则yxudyduuxdxdx两边关于求导，得x代入原方程，得()duuxudx即()duuudxx分离变量，得()dudxuux两边积分，得()dudxuux求出通解后将换成即可uyx可作为公式记忆第四讲微分方程22yyyxx例6解：原方程可化为2()yyyxx令yux则yxudyduuxdxdx代入原方程，得2duuxuudx即2duudxx分离变量，得2dudxux两边积分，得2dudxux即1lnlnxCu1lnCxu得方程通解为带入yuxlnxyCx第四讲微分方程上面从求积分开始也可以这样做2dudxux2dxduxu1lnlnxCu1uxCexyxCe（这个结果跟上面的结果实际上是一样的！）注：从以上两种解微分方程的方法中，我们可以知道“解”微分方程就是消除方程中的导数或微分，至于结果是一个函数还是一个方程，只要是两个变量之间的一个关系表达式即可，所以可能存在结果有不一样的情况；在具体解题的过程中，尤其是在求积分的时候，会遇到各种各样的情形，不是一两个题目就能全部包含的，所以要多做一些这类题目，做到熟能生巧。第四讲微分方程3.一阶线性微分方程为了帮助大家正确认识什么是线性微分方程，我们先引入n阶线性微分方程的概念，以便以后学习二阶线性微分方程的解法()(1)11()()()()nnnnyPxyPxyPxyQx形如的方程叫做n阶线性微分方程之所以称为“线性”微分方程，是因为方程中的(),,,nyyyy是通过乘以某些系数（可以是函数或常数）以后，只有加或减的运算联系起来的，我们把这样的方程称为线性微分方程特别的，当时，称为n阶齐次线性微分方程()0Qx注：所谓线性微分方程，说的简单些，就是在方程中，导数与导数或者说微分与微分之间除了加减运算以外没有其他形式的运算.第四讲微分方程当n=1时，就是我们要讲的一阶线性微分方程，如下：()()yPxyQx观察方程②，显然它是一个可分离变量的方程，特别的，当时，称为一阶齐次线性微分方程：()0Qx()0yPxy①②分离变量，得()0dyPxydx()dyPxdxy两边积分，得()dyPxdxy为表示方便我们这里就用表示的一个原函数()Pxdx()Px则ln()lnyPxdxC即方程②的通解为()PxdxyCe对应的，对于时的①又称为一阶非齐次线性微分方程()0Qx第四讲微分方程对于方程①，我们是通过一种叫“常数变易法”的方法，在方程②通解的基础上得到其通解的，结果如下：()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC仔细观察上式不难发现，方程①的通解是由方程②的通解与①的一个特解之和构成的，即：()()()()PxdxPxdxPxdxyCeeQxedx②的通解①的一个特解注：在解题的时候，我们只要把一阶（非齐次）线性微分方程变为形如①的标准形式，找出其中的和，直接代入上面的公式即可()Px()Qx第四讲微分方程补充：常数变易法中的看作是的函数，并设方程①的通解为()PxdxyCe为解决方程①的通解，我们把方程②的通解xC()Cx()()PxdxyCxe则()()()()()PxdxPxdxyCxeCxPxe代入方程①()()()()()()()()()PxdxPxdxPxdxCxeCxPxePxCxeQx得整理，得()()()PxdxCxeQx即()()()PxdxCxQxe两边积分，得()()()PxdxCxQxedxC因此方程①的通解为()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC第四讲微分方程26,(0)2yxyxy例1解：方程变形为26yxyx这是一个一阶非齐次线性微分方程()2,()6PxxQxx则原方程的通解为(2)(2)[6]xdxxdxyexedxC22(6)xxexedxC22(3)xxeeC23xCe代入得(0)2y1C所以原方程满足初始条件的特解为23xye第四讲微分方程22(1)(1)xxdyxydxdx例2解：方程变形为211(1)dyydxxxx211(),()(1)PxQxxxx则原方程的通解为1121[](1)dxdxxxyeedxCxx211()1dxCxx1(arctan)xCx这里我们仍然把写成lnxlnx1ln1dxxxeex1lndxxxeex第四讲微分方程2(2)0xydyydx例3解：方程变形为2dxxydyy2(),()PyQyyy则原方程的通解为22()()[()]dydyyyxeyedyC221[()]yydyCy2(ln)yyC注：在微分方程中，没有绝对的自变量与函数值，只要能符合某种类型的微分方程就可以使用特定的方法求解如：就可以看作是关于一阶线性微分方程，通解公式只要把x与y交换位置就可以使用()()xPyxQyy第四讲微分方程三、可降阶的高阶微分方程二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程1.型的微分方程()()nyfx将方程两边积分一次就得到一个n-1阶的方程(1)1()nyfxdxC再积分一次，得(2)12[()]nyfxdxCxC就这样逐次进行积分，便可得到所求方程的通解xye1xyeC12xyeCxC21232xCyexCxC例1第四讲微分方程2.型的微分方程(,)yfxy此类型的方程就是不显含未知数y的二阶微分方程yp令dpypdx则于是，原方程变为(,)pfxp这是一个关于变量x和p的一阶方程，如果可以求出其通解：1(,)pgxC即1(,)ygxC接下来再求一次积分便可得原方程的通解第四讲微分方程2(1)2xyxy例2解：yp令dpydx则于是，原方程变为2(1)2dpxxpdx分离变量，得221dpxdxpx两边积分，得221dpxdxpx即21lnln(1)lnpxC则21(1)pCx即21(1)yCx两边积分，得312()3xyCxC第四讲微分方程3.型的微分方程(,)yfyy此类型的方程就是不显含自变量x的二阶微分方程yp令yp则dpdydydxdppdy于是，原方程变为(,)dppfypdy这是一个关于变量y和p的一阶方程，如果可以求出其通解：1(,)pgyC即1(,)ygyC分离变量并求积分，即可得原方程的通解为21(,)dyxCgyC第四讲微分方程2002[()],1,2xxyyyyyy例3解：yp令dpypdy则于是，原方程变为22()dppyppdy(0)2,0yp分离变量并积分，得21dpdypy即1ln(1)2lnlnpyC则211pCy即211yCy分离变量并积分，得21dydxy2(1)dpypdy代入得(0)1,(0)2yy11C即21yy则2arctanyxC2(0)14yCtan()4yx特解为于是有第四讲