等离子体动力学

等离子体物理张雅鑫太赫兹科学协同创新中心第六章等离子体动力学理论章节内容框架第二节动力学方程第三部分伏拉索夫方程的严格导出第一节分布函数的引入第一节分布函数的引入根据不同条件和研究问题，采用不同的近似方法等离子体等效为导电流体，研究其与电磁场相互作用，着重于等离子体整体行为，忽略单个粒子运动状态从粒子统计分布函数的变化规律出发，用统计力学的方法确定系统的物理状态和性质随时间变化过程单粒子运动（单粒子轨道描述法）等离子体中单个带电粒子在外电磁场作用下运动，带电粒子间相互作用被忽略磁流体等效（磁流体描述法）动力学理论（统计描述法）动力学理论等离子体中性气体区别带电粒子的运动带电粒子的运动能够产生电磁场这种电磁场又要影响带电粒子的运动自恰电磁场外电磁场分布函数的引入如何用分布函数分析等离子体相关问题为什么要引入分布函数是什么刘维尔定理动力学理论粒子按状态的不同分布，随时间演化的方程统计物理学推求大量粒子的统计平均结果分布函数动力学方程宏观参量单个粒子运动规律单个粒子仍遵守电磁学、力学规律大量同性质偶然事件的整体所，具有的规律大量分子进行统计平均（1）只对大量偶然的事件才有意义（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变)（3）大数量现象在一定宏观条件下的稳定性分布函数的引入统计物理研究方法统计规律特点:从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法伽尔顿板大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线统计规律和方法伽尔顿板•等离子体中的每个粒子状态均与其存在的位置及速度相关。位置X,Y,Z速度Vx，Vy，Vz•每个粒子在此相空间中有其一个代表点与之对应。分布函数的引入当粒子在实际空间中运动时，其在相空间中的代表点也在相空间中运动，所以研究一个系统随时间的变化，只须研究粒子代表点在相空间的运动即可。分布函数的定义t),,f(vr粒子在空间、速度和时间上密度分布函数在时间t，位置r，速度分量在v-v+dv,位置在r-r+dr之间的粒子数目zzdvdvt)dxdydzdv,,f(Ndvdvt)dxdydzdv,,f(dNyxyxvrvr每一个（r，v）描述的并不代表哪一个粒子的精确位置，而是一个粒子可能出现的概率。---yxdvdvt)dv,,f(t),n(zvrr•给定时刻每立方厘米内粒子的数目为：•速度分布函数归一化1vz---yxdvdv)dvf(•速度分布函数)t)f(,n(t),,f(vrvr相空间内，t时刻，在内粒子出现的概率密度zdvdvdvyx意义速度分布函数将速度分成若干个小区间，某一区间上的分子数占总分子数的百分比即是速度分布。N总分子数N区间上的分子数vvv～dNNv,0时当NdN区间的分子数占总分子数的百分比vdvv～dvvfNdN速度分布vOvNNvOvNNNdvdN)v(fvOvpv面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率NdNdvNdvdNdvvfNdN物理意义：附近，单位速率间隔上的分子数占总分子数的百分比。v讨论：若为已知vf⑴附近，区间上的分子数为vdvdvvNfdN⑵1v2v～区间上的分子数为dvvNfNvv21占总分子数的百分比为dvvfNNvv21⑶归一化条件1dvvf-速度分布函数)(vfNdvdNvf～•麦克斯韦速度分布函数表达式：2221/2()xyz•根据数学公式-2πdx-xexp）（1z---yxdvdvf(v)dv构成等离子体物理系统的粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。222/32)2(4)(υekTπmπυfkTυm对各向同性分布，各方向的平均速度：30xxxxmiifd平均速度：0xyz0x一维麦克斯韦速度分布()xf由于麦克斯韦速度分布函数是各向同性的，只与速度大小有关，与方向无关，因此可定义速率分布函数g（v）303/2222()()()4(/2)exp(/)thgdfdgnmKT麦克斯韦速率分布曲线(a)速率分布特征：速率可取-+内的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速率的分子最多。(b)曲线有一个最大值，对应的速率为mkTυp2—最可几(概然)速率f()op在温度T的平衡态下，速率在p附近单位速率区间内的的粒子数最多，或者说粒子中速率分布在p附近的概率最大。(c)曲线下面积的物理意义f()oddNfN在-+d区间内的分子数占总分子数的百分比：+d2211d()dNNfNN在1-2区间内的分子数占总分子数的百分比。整个曲线下的面积,即0d)(υυf这一关系式称为分布函数f()的归一化条件。of()d面积NNυυfdd1d0NNNN即分子速率在0-间的概率是1。思考：如果温度T变化，麦克斯韦速率分布曲线如何变化？222/32)2(4)(υekTπmπυfkTυmf()op最概然速率平均速率方均根速率三种统计速率1.最可几(概然)速率p—与分布函数f()的极大值对应的速率。molpMRTmkTυ22由极值条件df()/d=0可以得到0d)(υυfυ将f()代入，完成积分，求得平均速率为2.平均速率-----系统粒子速率的统计平均值根据统计平均值的计算公式iiiiiiNNυPυυΔ0dNNυυ分子速率连续分布，所以33/222201/2ˆ()(/2)[exp(/)]42(2/)mthfdmKTdKTm速度空间的球体积元积分3.方均根速率molMRT3于是方均根速率为molMRTυ3202022d)(dυυfυNNυυmolpMRTυ2molMπRTυ8molMRTυ32CompanyLogo解速率区间—+d内的分子数:dN=Nf()d速率区间—+d内的分子速率之和:dN=Nf()d21d)(υυυυfυN速率区间1—2内的分子数:2121d)(dυυυυυυfNN于是速率区间1—2内分子的平均速率为212121d)(d)(υυυυυυυυfυυfυυ例1求速率区间1—2内分子的平均速率。速率区间1—2内分子速率之和:CompanyLogo个粒子的速率分布函数为)(f),0(;sin为常数oooC.0)(o求(1)归一化常数C;(2)处在f()的粒子数。C2oof()1dsin0oυoυπυυC解(1)由归一化条件:01d)(υυfoC2CompanyLogo(2)处在f()的粒子数:C2oC2,)(f),0(;sin为常数oooC.0)(ooof()υdC2oCsin由656oo656oooCsinN所以f()的粒子数:C2N865.021sino2C60650CompanyLogo(1)nf()d的物理意义是什么？(n是分子的数密度)VυυNfυυnfd)(d)(VNdnf()d—表示单位体积中，速率在—+d内的分子数。(2)写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数的百分比：pυυυf0d)((f()d—速率区间—+d内的分子数占总分子数的百分比。此题区间:0—p)=42.9%•粒子在相空间等势线图(,)xfxxxyx//一维系统中的等线示意图f各向同性分布磁镜中有损失锥分布yx漂移麦克斯韦分布和粒子束分布0zz00zz010ze被捕获粒子自由粒子0pztz未扰动粒子束扰动粒子束等离子体中捕获粒子和自由粒子捕获粒子和自由粒子的轨道相空间中粒子轨道示意图第二节动力学方程zzdvdvt)dxdydzdv,,f(Ndvdvt)dxdydzdv,,f(dNyxyxvrvr关于分子个数：t),,f(vr随时间变化的因素：粒子运动，由力学运动方程确定的粒子空间位置和速度的变化粒子间相互作用（碰撞）研究动力学方程：分布函数在外加场情况下的变化规律在时间t时刻，空间位置r~r+dr之间，速度在v~v+dv之间的粒子数为：f(r,v,t）drdvdrdv相空间元在经过了δt时间后，原来在drdv相体积元的粒子运动和受外场作用全部进入对应的新体元dr’dv’dN=f(r,v,t）drdvr’~r+dr’r’=r+vδtv’~v+dv’v’=v+(F/m)δt新体积元中粒子个数：dN‘=f(r’,v’,t+δt）dr’dv’情况一：如果粒子间无碰撞，粒子数目不变(,,)(,,)rυrυrυυvr'υ'ftddfttttdd情况二：如果粒子间有碰撞，粒子数目出现变化一些粒子进入到相体积元dr’dv’内，一些粒子则离开了相体积元，有碰撞引起变化的这部分粒子数用新的分布函数：()r'υ'cfdNtddt'cdNdNdN'dNdN(,,)(,,)()rυυvr'υ'rυrυr'υ'ffttttddftddtddt普适动力学方程()()fftdtftdtt左边利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项(,)(,)(}(,)fxxyyfxyxyfxyxy，，(,,)1(,,)frvtvafdtdrdvrvtffffrvtdrdvvdtadtdtdrdvrvt左边＝()cfffftmtFυrυ得到动力学方程：动力学方程-多种粒子情况等离子体中可能含有多种粒子•假设α类粒子的分布函数为fα()cfffftmtFυrυ相应的动力学方程：•一般来说粒子间存在碰撞，由于同β类粒子碰撞引起α类粒子数目的增加为),(ffC()(,)cfCffdddttrv()cft碰撞项de讨论等离子体中粒子间的碰撞：•近碰撞•远碰撞•多体碰撞•自洽场相互作用波耳兹曼导出碰撞项有如下假设：•碰撞的相互作用长度远小于分布函数发生明显变化的长度•碰撞的持续时间远小于分布函数发生明显变化的时间。•所有的碰撞都是二体碰撞。•参与碰撞的粒子是互不相关的（除在碰撞时以外）电子与离子间的碰撞频率：电子与电子间的碰撞频率：lnDeipeDNN3(4/3)ln1DDDDNnNN22eeei对于毫米波、太赫兹频段器件而言：111210~10ffHz=2器件中电子所涉及到的等离子体频率远小于这个频率。在研究比带电子粒子碰撞快很多的等离子体现象时，可以略去碰撞效应。()cfffftmtFυrυ0ffftmFυrυ如果考虑粒子仅受电磁力作用：()0fffqtmEυBυrυ无碰撞玻尔