西瓜种植方案

西瓜种植方案摘要：本题针对西瓜种植的种植棵数和收益分配问题。首先根据题意提供的种植数量、成分以及市场价格确定个人收益的表达式()Ipcq。可以看出问题（一）是三人在完全掌握对方成本与市场信息的情况下同时播种，求得个人利益，从经济学博弈论入手，根据所给条件，以及个人收益表达式建立了纳什均衡模型，然后根据种植数量的条件限制，分8种情况讨进行论并分析，再分析过程中利用数学方法求导，求出个人收益的最值，从而获得最优的产量和收益。问题（二）是在问题（一）的基础上进行分析，在两者不变的情况下，第三者力求获得最大收益，一方面利用数学方法求的最终结果，另一方面利用纳什均衡特殊性即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。对问题进行检验。问题（三）则是针对新的情况，在王五种植数量一定的情况下，张三、李四合作以求获得更大利益，我们考虑了两种极限情况，即张三和李四两者只有一方种植而另一方不种，由特殊到一般，利用假设推断得出结论。在涉及利润分配时，我们利用shapely分配方法，对李四和王五的利润进行分配。问题（四）是三人进行合作从而获得最大收益，可以判断出这是典型的帕累托最优问题。经过对问题的分析，我们建立了合作对策模型，然后把其转化为最优解的问题，并分情况进行讨论，最后根据合帕累托最优原则选出最有组合，得出最优的个人产量和收益。关键词：博弈论，纳什均衡，shapley分配方法，三人对策合作模型，帕累托最优一．问题重述：问题（一）：已知张三，李四和王五同时播种，而且每个人都知道自己及对方的成本和市场信息，却不互相通知种植信息的前提下的各自决策，以及在此决策下各自的种植量和收益。问题（二）：李四和王五还执行上面的决策，但是张三没有按上述决策执行，而是在知道李四和王五播种情况后，再进行播种。问：张三能否提高收益？其种植量和收益分别是多少？问题（三）：在已知张三的种植情况后，李四和王五合作种植，要使得他们总利润最大，并且求他们如何划分种植数量？求各自收益。问题（四）：在不损害任何一方的前提下，三人进行合作，求各自种植西瓜的棵树及收益。二．问题分析：本题是纳什均衡（Nashequilibrium）,又称为非合作博弈均衡模型。假设有n个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己最优策略（个人策略可以不依赖于也可以不依赖他人的策略），从而使自己利益最大化。所有局中人策略构成一个策略组合。纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。问题一是三个人参与的博弈，在不顾及其他人策略时每个人都追求最大收益，即纳什均衡。当何时获得最大收益？由公式收益＝种植的棵树×（市场价格—成本）；而种植总棵树大于７５０００棵时，市场价格为零，不符合实际情况，所以市场价格与棵树有线性关系，当收益与种植棵树的函数在极值点时收益取最大值问题二是三人参与的博弈，一方能否打破这种纳什均衡？上面已经提到，达到了纳什均衡之后，是没有人能够打破这种关系的。也就是说，张三不遵守这种均衡，他所做的将会是徒劳无功。最终收益不会改变。问题三若李四和王五知道了张三没有按照三人都达到最大利润时的决策，但李四和王五知道张三还是想得到最大收益的，所以他们可以通过他们自己的种植量lwqq，就可以知道张三的种植量了，当然也可以推算出市场的价格以及他们自己的收益。现在他们想让他们自己的总利润最大，他们应该种植多少西瓜呢？与此同时，他们还得决定各自种植的数量，来得到自己满意的收益。问题四是利用帕累托最优原则设计三人该如何合作，并计算三人各自种植西瓜的棵树以及利润。帕累托最优，是指如果对于某种既定的资源配置状态，所有的帕累托改进均不存在，任何形式的资源重新配置，都不可能使至少有一人受益而又不使其他任何人受到损害。三．模型假定与约束：当张三，李四，王五播种西瓜总数超过75000棵时，市场价格为0元，播种后要亏本，不符合现实情况，所以张三，李四和王五播种的总数肯定少于75000棵。而当张三，李四和王五播种总数超过62500棵时，市场上西瓜价格小于0.5元，仍然没有盈利。所以，综上所述，西瓜播种总数小于62500棵。四．符号说明及名词定义：zq：张三种植西瓜数量lq：李四种植西瓜数量wq：王五种植西瓜数量zC:张三种植西瓜成本lC:李四种植西瓜成本WC:李四种植西瓜成本1I:张三的收益2I：李四的收益3I：王五的收益I:李四与王五的总利润五．模型建立与求解：问题（一）：张三的收益1(3)25000zlwzzqqqIqC李四的收益2(3)25000xlwllqqqIqC王五的收益3(3)25000xl当3120;0;0zlwdIdIdIdqdqdq时张三，李四，王五的收益才能各自最大。得：123025000zlwzzqqqdICdq(1)223025000zlwllqqqdICdq(2)323025000zl(3)由题目知张三，李四和王五的成本随种植的棵树变化如下0.55,250000.50,25000zzzqCq（4）0.55,200000.50,20000lllqCq（5）0.60,200000.50,20000（6）对种植棵树分情况进行讨论：（一）：当25000,20000,20000zlwqqq时将0.55,0.55,0.60zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得：15625;14375zlwqqq各自收益为1239765.625,9765.625,8265.625III…………符合题意（二）：当25000,20000,20000zlwqqq时将0.50,0.55,0.60zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得16560.5250000,15312.5,14066.5zlwqqq………不符合题意（三）当25000,20000,20000zlwqqq时将0.50,0.55,0.50zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得：15625,15625,1687520000zlwqqq…………不符合题意（四）当25000,20000,20000zlwqqq时将0.55,0.50,0.60zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得：15321.5,16562.520000,14062.5zlwqqq…………不符合题意（五）当25000,20000,20000zlwqqq时将0.50,0.50,0.60zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得:1625025000,1625020000,13750zlwqqq…………不符合题意（六）25000,20000,20000zlwqqq时将0.50,0.50,0.60zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得:14687.5,15937.520000,15937.520000zlwqqq…………不符合题意（七）25000,20000,20000zlwqqq时将0.50,0.55,0.50zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得:15937.525000,14687.5,15937.520000zlwqqq…………不符合题意（八）25000,20000,20000zlwqqq时将0.50,0.50,0.50zlwCCC代入公式（1），（2），（3）得:1562525000,1562520000,1562520000zlwqqq…………不符合题意由此可知：当25000,20000,20000zlwqqq时满足题意，此时张三种植15625棵西瓜，李四种植15625棵西瓜，王五种植14375棵西瓜；各自的收益为9765.625元，9765.625元，8265.625元。问题（二）：李四和王五执行上述决策李四播种15625棵西瓜，王五播种14375棵西瓜；此时张三再播种，而李四和王五共播种30000棵西瓜，张三收益函数130000(3)25000zzZqIqC,令10;zdIdq得到1.8012500zzqC；如果25000zq时=0.55zC得到15625zq满足题意；当25000zq时=0.50zC得打1625025000zq不符合题意；张三收益不能提高，其播种西瓜15625棵，收益为9762.5元；同时由纳什均衡知纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。张三播种数量不变，收益不能提高。问题（三）：李四和王五已经知道了张三的“计谋”，那么对张三来说，他除了选择让自己得到最大利益外，他别无选择。也就是说，张三只有种植15625棵西瓜，他才能得到最大利益为9765.625元。而对于李四和王五来说，他们有很多种选择来达到他们的总利润最大。第一种情况：我们考虑极端的情况，假设王五不种植西瓜，而让李四种植的话，也即当20000lq，20000wq（0wq）时由215625*(30.50)25000lwlqqIq对lq求导数得到式子令其等于零，即156252*30.5025000lq求得23437.5lq从而221973I元，30I；此时总利润21973I元，李四种植23437棵，王五种植零棵。第二种情况：同样是极端情况，现在假设李四不种植西瓜，而让王五种植的话，也即当20000lq（0lq），20000wq时由315625*(30.50)25000lwwqqIq对wq求导数得到式子令其等于零，即156252*30.5025000wq求得23437.5wq从而321973I元，20I；此时总利润21973I元，王五种植23437棵，李四种植零棵。第三种情况：现在考虑一般情况，即20000lq，20000wq而总利润函数公式为：1562515625*(30.55)*(30.60)2500025000lwlwlwqqqqIqq令lwlwqqq；化简得：15625(30.600.0525000lwlwlqIqq）；已知李四种植的成本为0.55元，王五种植的成本为0.60元，李四的成本大于王五；为了使总利润最大要尽可能多让李四多种植。即李四种植20000棵树，此时对总利润I求导，令1.775012500lwlwqdIdq得22187.5lwq满足条件此时李四种植20000棵，王五种植2187.5棵树总利润为20692李四的利润为18750.4王五利润为1941.4第四种情况：当20000lq，20000wq时，而总利润函数公式为：1562515625*(30.50)*(30.50)2500025000lwlwlwqqqqIqq令lwlwqqq化简得：15625(30.5025000lwlwqIq）对总利润I求导，令1.875012500lwlwqdIdq得23437.5lwq而20000lq，20000wq，其最小和大于4000023437.5不符合题意。由上述讨论知：当23437lwq时，李四和王五的总利润最大为21973元，且有两种分配方案：李四种植23437棵西瓜，王五不种王五种植23437棵西瓜，李四不种对李四和王五的收益分配问题，我们应用shapley值法进行解决。下面作出如下定义：,Ilw：合作各方集合；L：合作收益函数，也称为特征函数；()iL：李四或王五的合作获利分配权值；12()(,)L：获利分配权值向量因此，有97650625,8265.625,21973lwlwLLL()()