简单几何体的表面积和体积

诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.221立体几何第二节空间几何体的表面积和体积作业1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如下图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下2．(2010·河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个三棱柱的体积是()A．963B．483C．243D．1633．若圆锥轴截面的顶角θ满足π3θπ2，则其侧面展开图中心角α满足()A.π4απ3B.π3απ2C.π2απD．πα2π4．(2010·陕西文，8)若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是()A．2B．1C.23D.13诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.2225．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋23B．4π＋23C．2π＋233D．4π＋2336．(2011·山东济南一模)一个几何体的三视图如下图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是()诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.223A．(80＋162)cm2B．84cm2C．(96＋162)cm2D．96cm27.(2011·湖州模拟)如下图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．8．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图(1)所示，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．9．圆柱内切球的表面积为4π，则圆柱的表面积为________．10．(2010·合肥市质检)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.224(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．11.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关12．某几何体的三视图如下图所示，则它的体积为()A．8－2π3B．8－π3C．8－2πD.2π3诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.225立体几何第二节空间几何体的表面积和体积自助餐1如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()A．29cmB．30cmC．32cmD．48cm2．一个几何体的三视图及部分数据如下图所示，左视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于()A.13B.23C.156D.62243一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为24π，一圆锥与此圆柱一个底面重合，顶点在另一个底面上，则此圆锥的表面积为________．4圆锥的高为4，侧面积为15π，其内切球的表面积为________．诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.2265．如下图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，且AB＝BC＝2，AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3.(1)证明：截面四边形EFGH是菱形；(2)求几何体C－EFGH的体积．6如下图在△ABC中，∠B＝π2，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.227立体几何第二节空间几何体的表面积和体积作业答案1.A2．B3D4．B5．C6．A[解析]其直观图如下图所示，由三视图知，棱锥底面是边长为4的正方形，高为2，棱柱与棱锥同底，高为4，因此棱锥的顶点到底边的距离是22＋22＝22cm，故该几何体的表面积为S＝(12×4×22)×4＋(4×4)×5＝80＋162(cm2)．7.268．3π2[解析]根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是12×π×12×3＝3π2.故填3π2.9．6π[解析]设球半径为R(R0)，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由条件知，4πR2＝4π，∴R＝1.∴圆柱的表面积S＝2π·R2＋2πR·2R＝6πR2＝6π.10．(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积．诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.228[解析](1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.(2)∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形，∴D′E＝DE＝EF＝22，∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面ABCP，∵S梯形ABCP＝12×(1＋2)×1＝32，∴VD′－ABCP＝13×D′E×S梯形ABCP＝24.[来源:Ks5u.com]11[答案]C[解析]设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝13×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值2，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C.12．A[解析]由三视图知，原几何体为如下图所示一正方体挖去一个与正方体等高底面是正方形的内切圆的圆锥，则其体积为V＝23－13π×12×2＝8－2π3.故选A.诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.229立体几何第二节空间几何体的表面积和体积自助餐答案1[答案]A[解析]如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)，∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.[点评]抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．2．[答案]A[解析]由三视图知，这是一个正四棱锥，其底面为正方形，一条侧棱垂直于底面其长度为2，底面正方形对角线长为1，∴边长为22，体积V＝13×(22)2×2＝13.3[答案]4(5＋1)π[解析]设圆柱底半径为R，则2πR2＋2πR·2R＝24π，∴R＝2，∴圆锥的底半径为R＝2，高为4，母线长l＝22＋42＝25，[来源:Ks5u.com]∴圆锥的表面积S＝πR2＋πRl＝4π＋45π＝4(5＋1)π.4[答案]9π[解析]设圆锥底面半径为r(r0)，则母线长l＝16＋r2，由πrl＝15π得r·16＋r2＝15，解之得r＝3，∴l＝5.诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.2210设内切球半径为R，作出圆锥的轴截面如上图，则BD＝BO1＝3，PD＝5－3＝2，PO＝4－R，∵OD⊥PB，∴R2＋4＝(4－R)2，∴R＝32，∴球的表面积S＝4πR2＝9π.5．[解析](1)证明：因为平面ABFE∥平面CDHG，且平面EFGH分别交平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF∥GH.同理，FG∥EH.因此，四边形EFGH为平行四边形．因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD.因为BF綊DH，所以FH∥BD.因此，FH⊥EG.所以四边形EFGH是菱形．(2)解：连接CE、CF、CH、CA，则VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE，其中V是几何体的体积，∵AE＝1，BF＝DH＝2，CG＝3且几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.2211所以该几何体的体积为V＝(2)2×2＝4，[来源:Ks5u.com]VC－ABFE＝13×S四边形ABFE×BC＝13×12(AE＋BF)×AB×BC＝16×(1＋2)×2×2＝1.同理，得VC－ADHE＝1，所以，VC－EFGH＝V－VC－ABFE－VC－ADHE＝4－1－1＝2，即几何体C－EFGH的体积为2.6[解析](1)令PA＝x(0x2)，则A′P＝PD＝x，BP＝2－x，因为A′P⊥PD且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD.所以VA′－PBCD＝13Sh＝16(2－x)(2＋x)x＝16(4x－x3)．令f(x)＝16(4x－x3)，由f′(x)＝16(4－3x2)＝0，得x＝233.当x∈(0，233)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(233，2)时，f′(x)0，f(x)单调递减．所以，当x＝233时，f(x)取得最大值，即当VA′－PBCD最大时，PA＝233.(2)设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF綊12BC，PD綊12BC，∴EF綊PD，∴四边形EFPD为平行四边形，∴DE∥PF.又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.22121．如下图，已知在多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2B．4C．6D．8[答案]B[来源:高&考%资(源#网wxcKS5U.COM][解析]补成长方体ABMC－DEFN并连接CF，易知三棱锥F－BCM与三棱锥C－FGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故选B.[点评]1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与DG的交点为H，则ABC－DEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊FG綊BC，平面BEF∥平面CHG，且△BEF≌△CHG，∴几何体BEF－CHG是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，∴体积为4.2．如图(2)，几何体ABC－DEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱AN、EK的中点C、F，诸城市超然中学一轮复习作业组编：张学兵审核：邱裕善备,思,理2012.11.2213作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两部分形状相同，体积相等，∴VABC－DEFG＝12×23＝4.2．(2010·安徽理，8)一个几何体的三视图如下图，该几何体的表面积为()A．280B．292C．360D．372[答案]C[解析]由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为(6×8)×2＋(8×2)×2＋6×2＝140.下面的长方体的表面积为(10×8)×2＋(10×2)×2＋(8×2)×2－6×2＝220.故表面积为140＋220＝360.选C.3．(