解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理正弦定理：2sinsinsinabcRABC文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.符号语言：2sinsinsinabcRABC特点：对称美、和谐美（一）理解定理1、正弦定理：在△ABC中，2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sinsinbAaB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaBAb3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sinsinabAB，sinsinbcBC，sinsinacAC每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一”(2)三内角和为180即180ABC，222ABC(3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.abcacbbcaabcbcaacb(4)面积公式：2111sinsinsin2sinsinsin2224abcSabCbcAacBRABCR⑸三角函数的恒等变形：sin()sinABC，cos()cosABC，()tantanABC，sincos22ABC，cossin22ABC，tantan22ABC，tantan+tantantantanABCABC⑹CBAcbasin:sin:sin::⑺角化边:CRcBRbARasin2sin2sin2⑻边化角:RcCRbBRaA2sin2sin2sin⑼在△ABC中，①若BbAacoscos，则△ABC是等腰三角形或直角三角形;②若BaAbcoscos，则△ABC是等腰三角形;③若222coscos+cos1ABC或coscoscosaAbBcC，则△ABC是直角三角形.⑽在△ABC中，sinsinsinABCabcABC（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1：利用正弦定理公式原型解三角形题型2：利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin3sin2sin32ABCabc题型3：三角形解的个数的讨论方法一：画图看结论：△ABC中，已知锐角A，边b，则①Abasin时，a无解；②Abasin或ba时，a有一个解；③baAbsin时，a有两个解;方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC中，AD是A的角平分线，则DCBDACAB我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角.如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角.如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题：例题：已知：在△ABC中，22,25,133,acmbcmA解三角形.解：22,25,133acmbcmA∴根据正弦定理，得sin25sin133sin0.831122bABa0180B∴56.21B，或123.79B180ABC∴9.21C或76.79C【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133abA，是一个钝角，根据三角形的性质应该有AB,因而B也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.【结论】：（1）如果已知的角A是钝角或直角，那么必须ab才能够有解，这时从sinsinbABa计算角B时，只能够取锐角的值，因此只有一个解.（2）如果已知的角A是锐角，并且ab或ab，这时从sinsinbABa计算角B时，也只能取锐角的值，因此都只有一个解.（3）如果已知的角A是锐角，并且ab，这时从sinsinbABa计算角B时，我们可以分下面三种情形来讨论①如果sinabA，这时从sinsinbABa计算得sin1B，B可以取一个锐角的值和一个钝角的值，因此可以有两个解.②如果sinabA，这时从sinsinbABa计算得sin1B，B只能够取一个直角的值，因此只有一个解.③如果sinabA，这时从sinsinbABa计算得sin1B，由于一个角的正弦值不可能大于1，因此没有解.如：①已知32,2,60baA,求B(有一个解);②已知32,2,60abA,求B(有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos22cos2coscos22coscos2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型3:判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当222abc、222bca、222cab中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当222222222abcbcacab、、中有一种关系式成立时，所对的角是锐角，但并不能得出该三角形为锐角三角形的结论.当222222222abcbcacab、、中有一种关系式成立时，则该三角形为直角三角形.判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用ABC这个结论.特别要注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解.（三）正余弦定理的应用正余弦定理在实际中的应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解.（四）常见结论1、三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直2、三角学中的射影定理：在△ABC中，coscoscoscoscoscosabCcBbaCcAcaBbA、、一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．解三角形的常用技巧：如果条件有边或角的正弦齐次式，常用正弦定理；如果条件有222abc、、的关系或内角的余弦值，常用余弦定理.