解三角形练习题一参考答案

第一章解三角形练习题一参考答案学号姓名一、选择题：1、已知△ABC的三个内角之比为A：B：C＝3：2：1，那么对应的三边之长a：b：c等于(D)A．3：2：1B.3：2：1C.3：2：1D．2：3：12、在△ABC中，A＝60°，a＝13，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC等于(B)A.833B.2393C.2633D．233、在△ABC中，若b＝2asinB，则A等于(D)A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°4、在△ABC中，若cosAcosB＝ba，且cosBcosC＝cb，则△ABC是(D)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．正三角形解析:由cosAcosB＝ba得A＝B或A＋B＝π2；由cosBcosC＝cb得B＝C或B＋C＝π2∴A＝B＝C，即△ABC为正三角形．5、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→(C)A．－32B．－23C.32D.23解析:由余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝9＋4－1012＝14.∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosA＝3×2×14＝32.6、在△ABC中，若sin∠A＞sin∠B，则∠A与∠B的大小关系为(A)A．∠A＞∠BB．∠A＜∠BC．∠A≥∠BD．∠A、∠B的大小关系不能确定解析：由正弦定理ab＝sinAsinB，∵sinA＞sinB，∴a＞b，又在三角形中大边对大角，∴∠A＞∠B.7、在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（D）A．12B．221C．28D．368、已知A船在灯塔C北偏东85且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北25且B到C的距离为3km，则,AB两船的距离为（D）A．23kmB．32kmC．15kmD．13km9、在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实数根，则A为(A)A．锐角B．直角C．钝角D．不存在解析：把已知方程整理得(sinA－sinC)x2＋2sinB·x＋(sinA＋sinC)＝0∴Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)0，即sin2B＋sin2C－sin2A0.∴b2＋c2－a20，∴cosA0，可知A为锐角．10、台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（B）A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时二、填空题：11、在ABC中,若3,120bcA,则ABC的外接圆的半径为____√3_____.12、三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8：5，则此三角形面积为__40√3___．解析:设另两边长为8x和5x，则cos60°＝64x2＋25x2－1422×8x×5x得x＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S＝12×16×10·sin60°＝403.13、在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，三角形面积为12，则cos2C＝___725___.解析:S＝12AC·BCsinC＝12×5×8sinC＝12，∴sinC＝35，∴cos2C＝1－2sin2C＝1－2×352＝725.14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为___π6_____．解析:sinB＋cosB＝2sinB＋π4＝2，∵0Bπ，∴π4B＋π454π，∴B＝π4，又∵bsinB＝asinA，∴sinA＝12，∵ab，∴AB，故A＝π6.三、解答题：15、在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,4abcB，4cos,35Ab.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos45BA，∴33,sin45CAA，40km30kmD450BAC东西南北∴32272sinsincossin42210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知372sin,sin510AC，又∵,34Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin36sin5bAaB.∴△ABC的面积11367263sin32251050SabC.16、(2010·全国卷Ⅰ理，17)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝acotA＋bcotB，求内角C.【解析】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用．结论所求为角，故将条件中的边利用正弦定理化为角后再化简即可．由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcosπ4－cosAsinπ4＝cosBsinπ4－sinBcosπ4，sinA－π4＝sinπ4－B，又0A＋Bπ，故A－π4＝π4－B，A＋B＝π2，所以C＝π2.17、在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A【解析】∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A解法二：∵sin023sinsin45,22aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A评述：解法二应注意确定A的取值范围。18、(2010·重庆理，16)设函数f(x)＝cos(x＋23π)＋2cos2x2，x∈R.(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝3，求a的值．【解析】本题考查了三角函数的化简求值及解斜三角形的有关知识对于(1)先把f(x)化简为Asin(ωx＋φ)的形式，再进行求值，(2)问可先求出B的值再利用余弦定理解决．(1)f(x)＝cosxcos23π－sinxsin23π＋cosx＋1＝－12cosx－32sinx＋cosx＋1＝12cosx－32sinx＋1＝sin(x＋5π6)＋1.因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin(B＋5π6)＋1＝1，即sin(B＋5π6)＝0，又因0Bπ，故B＝π6.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.