解斜三角形的应用

解斜三角形的应用主讲：黄冈中学特级教师吴校红一周强化一、一周知识概述本节内容是在上一节解三角形的基础上提出了更高的要求，要我们能从实际问题中抽象出一个或几个三角形．并根据已知条件分析出这些三角形中的对应量，再运用所学的解三角形的知识去解决问题，从而达到提高解决实际问题的能力．二、知识归纳及讲解1、解斜三角形应用题的一般步骤是：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，抽象成三角形相应边和角及相应大小、位置，从而成为一个纯解三角形的问题.②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的结论．解斜三角的基本思路2、常用术语与相关概念（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数．（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．（3）仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．三、难点知识剖析1、解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求出数学模型的解．（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2、解斜三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．四、例题讲解例1、如图，为了测定河的宽度，在河岸取定基线BC，其长为α，在河对岸取定点A，测得∠ABC=α,∠ACB=β,求河宽.分析：由角α，β可得∠BAC，由正弦定理可求得AB或AC的长，过A作AD⊥BC于D，由Rt△可求得AD即河宽的长.解：由题意可知：∠BAC=π-α-β,在△ABC中.AB==∴AD=ABsinα=.例2、隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距的C、D两点，同时，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内）．求两目标A、B之间的距离．分析：由题意作出平面示意图（如图所示），在四边形ABCD中，需由已知条件求出AB的长．由图形直观可知，在△ACD与△BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后在ABC中，由余弦定理可求出AB．解答：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°，∴AC=CD=在△BCD中，∠CBD=180°－45°－75°=60°．由正弦定理，可得在△ACB中，由余弦定理，可得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即两目标A、B间的距离为例3、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A为的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船，此时走私船正以10km／h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．分析：在解题前必须画出示意图，但应该明确以下几个概念：其一是方位角；其二是沿什么方向追，即按什么方位角航行；其三是最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等．在此基础上，通过解三角形，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行时间．解答：设缉私船追上走私船所需th，则在△ABC中，由余弦定理知BC2=AB2＋AC2－2·AB·ACcos∠BAC故∠CBD=120°，在△CBD中，应用正弦定理有故缉私船沿北偏东60°方向，只需0.245h便能追上走私船．例4、如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ（用反三角函数表示）．分析：设山对于地平面的斜度的倾斜角∠EAD=θ，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于θ的三角函数等式，进而解出θ角．解答：在△ABC中，∠BAC=15°，∠CBA=180°－45°=135°，AB=100m，∴∠ACB=30°．根据正弦定理有又在△BCD中，∵CD=50，∠CBD=45°，∠CDB=90°＋θ，根据正弦定理有解得∴山对于地平面的斜度的倾斜角为例5、A、B、C是一条直路上的三点，AB=BC=1km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．分析：这是一道有关测量的应用问题．首先要明确有关术语，画出反映方位的示意图．再化为解斜三角形的问题求解．解答：如图所示，过C、B、P分别作CM⊥，BN⊥，PQ⊥，垂足分别为M、N、Q．设BN=x，则PQ=x，PA=∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2（CM-PQ）=2x．在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2＋PC2－2PA·PC·cos75°，即4=2x2＋4x2－过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由答：塔到直路的距离为点评：正确理解题意，画图分析解法是解这类应用问题的难点，这也就是构建数学模型的过程．