解析几何圆锥曲线测试题及详解

高考总复习含详解答案平面解析几何第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线平行的充要条件是2a＝a2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评]如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．2．(2011·福州市期末)若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2[答案]A[解析]焦点F(c,0)到渐近线y＝bax的距离为d＝bca2＋b2＝2a，两边平方并将b2＝c2－a2代入得c2＝5a2，∵e＝ca1，∴e＝5，故选A.3．(2011·黄冈期末)已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是()A．6x－5y－28＝0B．6x＋5y－28＝0C．5x＋6y－28＝0D．5x－6y－28＝0[答案]A[解析]由椭圆方程x220＋y216＝1知，点B(0,4)，右焦点F(2,0)，∵F为△BMN的重心，∴直线BF与MN交点D为MN的中点，∴BD→＝32BF→＝(3，－6)，又B(0,4)，∴D(3，－2)，将D点坐标代入选项检验排除B、C、D，选A.高考总复习含详解答案4．(2011·江西南昌调研)直线l过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x[答案]B[解析]设AB中点为M，A、M、B在抛物线准线上的射影为A1、M1、B1，则2|MM1|＝|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，∴|MM1|＝4，又|MM1|＝p2＋2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.5．(2011·福州市期末)定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”．过函数y＝9－x2图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为()A．10B．11C．12D．13[答案]B[解析]依据“左整点”的定义知，函数y＝9－x2的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC，AB，BG，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共11条，故选B.6．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y2m－x22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为()高考总复习含详解答案A.2B．2C.6D．22[答案]A[解析]由条件知m＋2＝4，∴m＝2，∴离心率e＝22＝2.(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y2＝2px(p0)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.5＋12B.3＋1C.2＋1D.22＋12[答案]C[解析]由AF⊥x轴知点A坐标为p2，p，代入双曲线方程中得，p24a2－p2b2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴c＝p2，即p＝2c，又b2＝c2－a2，∴4c24a2－4c2c2－a2＝1，由e＝ca代入整数得，e4－6e2＋1＝0，∵e1，∴e2＝3＋22，∴e＝2＋1.7．(2011·烟台调研)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1[答案]B[解析]椭圆的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝2＋32＋1－2－32＋1＝8＋43－8－43＝22，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x22－y2＝1.8．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)椭圆x24＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，MF1→·MF2→＝0，则M到y轴的距离为()高考总复习含详解答案A.233B.263C.33D.3[答案]B[分析]条件MF1→·MF2→＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．[解析]椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得x24＋3－x2＝1，解得x2＝83，即|x|＝263，此即点M到y轴的距离．[点评]满足MF→·MB→＝0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆．(理)(2011·山东实验中学期末)已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝1[答案]A[解析]由条件知，MF1→⊥MF2→，∴|MF1→|2＋|MF2→|2＝|F1F2→|2＝(210)2＝40，(|MF1→|－|MF2→|)2＝|MF1→|2＋|MF2→|2－2|MF1→|·|MF2→|＝40－2|MF1→|·|MF2→|＝36，∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，∴a＝3，又c＝10，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x29－y2＝1.9．(2011·宁波市期末)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为()A．abB．bcC．acD.a2bc[答案]A[解析]由条件知，|FA|＝|FO|＝c，即△OAF为等腰三角形，F(c,0)到渐近线y＝bax的距离为b，∴OA＝2a，高考总复习含详解答案∴S△OAF＝12×2a×b＝ab.10．(2011·北京朝阳区期末)已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为()A．2x－y＋1＝0B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．2x＋y－1＝0[答案]B[解析]将圆心(1，－3)坐标代入直线方程检验知选B.11．(文)(2011·江西南昌调研)设圆C的圆心在双曲线x2a2－y22＝1(a0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x－3y＝0截得的弦长等于2，则a＝()A.14B.6C.2D．2[答案]C[解析]由条件知，圆心C(a2＋2，0)，C到渐近线y＝2ax的距离为d＝2a2＋22＋a2＝2为⊙C的半径，又截得弦长为2，∴圆心C到直线l：x－3y＝0的距离a2＋22＝1，∴a2＝2，∵a0，∴a＝2.(理)(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A.－34，0B.－∞，－34∪[0，＋∞)C.－33，33D.－23，0[答案]A[解析]由条件知，圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于1，∴|3k－2＋3|1＋k2≤1，解之高考总复习含详解答案得－34≤k≤0.12．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，4]C．(10，＋∞)D．(－∞，10][答案]D[解析]过点A(0，－2)作曲线C：y＝2x2的切线，设方程为y＝kx－2，代入y＝2x2得，2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，当k＝4时，切线为l，∵B点在直线x＝3上运动，直线y＝4x－2与x＝3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a≤10时，视线不被曲线C挡住，故选D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2011·广东高州市长坡中学期末)若方程x24－k＋y26＋k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是________．[答案](－6，－1)[解析]由题意知，4－k6＋k0，∴－6k－1.14．(文)(2011·浙江宁波八校联考)已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，MF1的中点A在双曲线上，则双曲线的离心率是________．[答案]3＋1[解析]由条件知，|F1F2|＝2c，|AF1|＝c，∴|AF2|＝3c，高考总复习含详解答案由双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，∴3c－c＝2a，∴e＝ca＝23－1＝3＋1.(理)(2011·重庆南开中学期末)设双曲线x2－y23＝1的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x＝4上的动点，若∠F1PF2＝θ，则θ的最大值为________．[答案]30°[解析]F1(－2,0)、F2(2,0)，不妨设P(4，y)，y0，过P作PM⊥x轴，垂足为M，设∠F1PM＝β，∠F2PM＝α，则θ＝β－α，∴tanθ＝tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝6y－2y1＋6y·2y＝4y＋12y≤4212＝33，∴θ≤30°.15．(文)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为________．[答案]10[解析]2p＝8，∴p2＝2，∴E到抛物线准线的距离为5，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×5＝10.(理)(2011·辽宁大连联考)已知抛物线“y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|”，则∠NMF＝________.[答案]π6[解析]设N在准线上射影为A，由抛物线的定义与条件知，|NA|＝|NF|＝32|MN|，∴∠AMN＝π3，从而∠NMF＝π6.16．(文)(2011·湖南长沙一中月考)直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．高考总复习含详解答案[答案]2[解析]设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入x22＋y2＝0中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±3，两平行直线x－y＝0与x－y＋3＝0的距离d＝62，将y＝x代入x22＋y2＝1中得，x1＝－63，x2＝63，∴|AB|＝1＋1|63－(－63)|＝433，∴S△ABC＝12|AB|·d＝12×433×62＝2.(理)(2011·湖北荆门调研)已知P为椭圆C：x225＋y216＝1上的任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为(1,3)，则|PM|＋|PF|的最小值为________．[答案]5[解析]如图，连结F1M，设直线F1M与C交于P，P′是C上任一点，则有|PF1|＋|PF|＝|P′F1|＋|P′F|，即|PM|＋|MF1|＋|PF|＝|P′F1|＋|P′F|，∵|P′F1|≤|P′M|＋|MF1|，∴|PM|＋|PF|≤|P′M|＋|P′F|，故P点是使|PM|＋|PF|取最小值的点，又M(1,3)，F1(－3,0)，∴|MF1|＝5，∴|PM|＋|PF|＝|PF1|＋|PF|－|MF1|＝2×5－5＝5.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．