算法分析与设计

第一章什么是算法算法是解决一个计算问题的一系列计算步骤有序、合理的排列。对一个具体问题（有确定的输入数据）依次执行一个正确的算法中的各操作步骤，最终将得到该问题的解（正确的输出数据）。算法的三个要素1).数据:运算序列中作为运算对象和结果的数据.2).运算:运算序列中的各种运算:赋值,算术和逻辑运算3).控制和转移:运算序列中的控制和转移.算法分类从解法上：数值型算法:算法中的基本运算为算术运算；非数值型算法:算法中的基本运算为逻辑运算.从处理方式上：串行算法:串行计算机上执行的算法；并行算法:并行计算机上执行的算法算法的五个重要的特性（1）有穷性：在有穷步之后结束。（2）确定性：无二义性。（3）可行性：可通过基本运算有限次执行来实现。（4）有输入表示存在数据处理（5）有输出伪代码程序设计语言（PDL），也称为结构化英语或者伪代码，它是一种混合语言，它采用一种语言（例如英语）的词汇同时采用类似另外一种语言（例如，结构化程序语言）的语法。特点：1)使用一些固定关键词的语法结构表达了结构化构造、数据描述、模块的特征；2)以自然语言的自由语法描述了处理过程；3)数据声明应该既包括简单的也包括复杂的数据结构；4)使用支持各种模式的接口描述的子程序定义或者调用技术。求两个n阶方阵的相加C=A+B的算法如下，分析其时间复杂度。#defineMAX20//定义最大的方阶voidmatrixadd(intn,intA[MAX][MAX],intB[MAX][MAX],intC[MAX][MAX]){inti,j;for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++)C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];}该算法中的基本运算是两重循环中最深层的语句C[i][j]=A[i][j]+B[i][j]，分析它的频度，即：T(n)==O(n2)分析以下算法的时间复杂度。voidfunc(intn){inti=0,s=0;while(sn){i++;s=s+i;}}102101010*11ninininjnnnnn对于while循环语句，设执行的次数为m，i从0开始递增1，直到m为止，有：s=0+1+2+…+(m-1)=m(m-1)/2，并满足s=m(m-1)/2n，则有m＜。T(n)=O()所以，该算法的时间复杂度为O()。有如下算法：voidfun(inta[],intn,intk)//数组a共有n个元素{inti;if(k==n-1)for(i=0;in;i++)//n次printf(%d\n,a[i]);else{for(i=k;in;i++)//n-k次a[i]=a[i]+i*i;fun(a,n,k+1);}}调用上述算法的语句为fun(a,n,0)，求其时间复杂度。设fun(a,n,0)的时间复杂度为T(n)，则fun(a,n,k)的执行时间为T1(n,k)，由fun()算法可知：T1(n,k)=n当k=n-1时T1(n,k)=(n-k)+T1(n,k+1)其他情况则：T(n)=T1(n,0)=n+T1(n,1)=n+(n-1)+T1(n,2)=…=n+(n-1)+…+2+T1(n,n-1)=n+(n-1)+…+2+n=O(n2)所以调用fun(a,n,0)的时间复杂度为O(n2)。估计如下二重循环算法在最坏情况下时间复杂性T(n)的阶。fori:=1tondoforj:=1toido{s1,s2,s3,s4};s1,s2,s3,s4为单一赋值语句分析:内循环体只需O(1)时间，故内循环共需外循环共需渐进分析时间复杂性渐进阶分析的规则：(最坏情况)1).赋值，比较，算术运算，逻辑运算，读写单个变量（常量）只需1单位时间2).执行条件语句ifcthenS1elseS2的时间为TC+max(TS1,TS2).3).选择语句caseAofa1:s1；a2:s2；...；am:sm需要的时间为max（TS1,TS2,...,TSm）.4).访问数组的单个分量或纪录的单个域需要一个单位时间.5).执行for循环语句的时间=执行循环体时间*循环次数.6).whilecdos(repeatsuntilc)语句时间=(Tc+Ts)*循环次数.7).用goto从循环体内跳到循环体末或循环后面的语句时,不需额外时间8).过程或函数调用语句：对非递归调用，根据调用层次由里向外用规则1-7进行分析；对递归调用，可建立关于T(n)的递归方程,求解该方程得到T(n).nnn)O()1O(1O(11iijij）)O(N)21O()O()O(21N1)(NNiiNii插入排序算法的实现要点：（1）【参数和返回值】确定输入数据个数和数据类型，输出个数和数据类型，数据的组织形式（即逻辑结构：线性表、树、图，线性表还包括栈、队列），数据的存储格式（数组还是链表），函数返回值。（2）【数据设置】变量定义与初值设定。要考虑访问的所有数据，包括变量和常量。每个变量都要考虑它的数据类型、存储结构、访问控制（局部变量、全局变量、静态变量、公共属性、保护属性、私有属性等）和初始值。（3）【关键代码】要考虑直接转换还是需要建立相应的独立函数。对于赋值和下标通常可以直接转换。一些操作，比如数据输入、创建、求长度、查找、排序、插入、删除、显示、修改等操作，通常需要通过建立专门的独立函数来实现，也可以通过系统提供的命令或函数来实现。归并排序算法的实现要点：（1）【参数和返回值】确定输入数据个数和数据类型，输出个数和数据类型，数据的组织形式（即逻辑结构：线性表、树、图，线性表还包括栈、队列），数据的存储格式（数组还是链表），函数返回值。参数：序列A[p…r]的子序列A[p…q]和A[q+1…r]，可以表示为区间[p,q],[q,r]指针（或迭代器）p，q，r：p指向第一个子序列的首元素，q指向第二个子序列首元素，r指向第二个子序列末尾元素之后，单个元素数据长度及比较函数指针。返回值：无（2）【数据设置】变量定义与初值设定。要考虑访问的所有数据，包括变量和常量。每个变量都要考虑它的数据类型、存储结构、访问控制（局部变量、全局变量、静态变量、公共属性、保护属性、私有属性等）和初始值。（3）【关键代码】要考虑直接转换还是需要建立相应的独立函数。对于赋值和下标通常可以直接转换。一些操作，比如数据输入、创建、求长度、查找、排序、插入、删除、显示、修改等操作，通常需要通过建立专门的独立函数来实现，也可以通过系统提供的命令或函数来实现。序列的划分算法的实现要点：（1）【参数和返回值】确定输入数据个数和数据类型，输出个数和数据类型，数据的组织形式（即逻辑结构：线性表、树、图，线性表还包括栈、队列），数据的存储格式（数组还是链表），函数返回值。参数：A是数组或序列p,r分别是整数或者迭代器返回值：分界点位置的整数或者迭代器（2）【数据设置】变量定义与初值设定。要考虑访问的所有数据，包括变量和常量。每个变量都要考虑它的数据类型、存储结构、访问控制（局部变量、全局变量、静态变量、公共属性、保护属性、私有属性等）和初始值。（3）【关键代码】要考虑直接转换还是需要建立相应的独立函数。对于赋值和下标通常可以直接转换。一些操作，比如数据输入、创建、求长度、查找、排序、插入、删除、显示、修改等操作，通常需要通过建立专门的独立函数来实现，也可以通过系统提供的命令或函数来实现。第二章直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。分治策略在每一层递归包括3个步骤：分解将问题分解成若干个子问题。治理递归地解决各子问题。不过若子问题的规模足够小，就以直接的方式（不再递归）解决子问题。合并将子问题的解合并成原问题的一个解。divide-and-conquer(P){if(|P|=n0)adhoc(P);//解决小规模的问题dividePintosmallersubinstancesP1,P2,...,Pk；//分解问题for(i=1,i=k,i++)yi=divide-and-conquer(Pi);//递归的解各子问题returnmerge(y1,...,yk);//将各子问题的解合并为原问题的解}分治法的复杂性分析：一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：通过迭代法求得方程的解：递归小结：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。2、用递推来实现递归函数。3、通过变换能将一些递归转化为非递归，从而迭代求出结果。二分搜索算法：templateclassTypeintBinarySearch(Typea[],constType&x,intl,intr){while(r=l){intm=(l+r)/2;if(x==a[m])returnm;if(xa[m])r=m-1;elsel=m+1;}return-1;}11)()/()1()(nnnfmnkTOnT1log0log)/()(nmjjjkmmnfknnT算法复杂度分析：每执行一次算法的while循环，待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn)次。循环体内运算需要O(1)时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn)。第三章动态规划算法总体思想：动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。分治法与动态规划的相同点：分治法与动态规划，二者要求原问题具有最优子结构，都是将问题分而治之分解成若干个规模较小的子问题。不同点：分治法是将原问题分解为多个子问题，利用递归对各个子问题独立求解，最后利用各子问题的解进行合并形成原问题的解。分治法将分解后的子问题看成是相互独立的。动态规划是将原问题分解为多个子问题，通过计算出子问题的结果构造一个最优解。动态规划通过迭代法自底向上求解，动态规划将分解后的子问题理解为相互间有联系，有重叠的部分。knapsack算法实现要点：（1）【参数和返回值】参数：物件个数n，重量数组W（一维整型），价值数组C（一维整型），背包容量C（整型）。返回值：返回整型二维数组m（2）【数据设置】设置一个（n+1）×（c+1）二维数表m；循环控制变量i，j（整数）（3）【关键代码】伪代码结构清晰，容易实现。Floyd算法实现要点：（1）【参数和返回值】参数：图的顶点个数n；图的邻接矩阵：浮点型矩阵w；返回值：返回矩阵D和∏构成的数据结构（2）【数据设置】两个二维数表d和pi（对应矩阵D和∏）；循环控制变量i，j，k（整数）（3）【关键代码】顶点从0～n-1编号。邻接矩阵D中∞用浮点型最大值代替；父结点矩阵∏中空指针NIL用-1表示；要输出路径还需要实现PRINT-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法第四章：贪心算法：依赖于当前已经做出的所有选择，采用自顶向下（每一步根据策略得到当前一个最优解，保证每一