解答-2007概率统计试卷

1华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007学年第一学期考试科目：概率论与数理统计（54学时）考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七八九总分得分评阅人已知：0.0250.0250.050.05(1)0.85,(0.5)0.70,(25)2.060,(26)2.056,(25)1.708,(26)1.706tttt一．选择题（每小题3分，共15分）1．A、B中只有一个发生的概率为（D）A．P(A)+P(B)B．P(A)-P(B)C．P(A)+P(B)-P(AB)D．P(A)+P(B)-2P(AB)分析：P{A、B中只有一个发生}()()()()()PABABPABPABPAABPBAB=P(A)+P(B)-2P(AB)。或者画集合的韦恩图，可知所求概率为()()ABAB部分概率。2．设随机变量的概率密度21()01xxfxx，则T=（B）A．1/2B．1C．-1D．3/23．对随机变量X，关于EX，EX2合适的值为（B）A．3，8B．3，10C．3，-8D．3，-10注意：方差D(X)22()()0EXEX。4．设有二个随机事件A，B，则事件A发生，B不发生的对立事件为（C）A．ABB．ABC．ABD．AB分析：A发生，B不发生的事件表示为AB，故其对立事件为AA.ABBB狄摩根公式5．给10只大白鼠注射类毒素后，测得每只大鼠的红细胞数(x)与血红蛋白含量(Y)数据，并计算获得如下中间结果：∑X=6550，∑Y=136，∑X2=4343500，∑Y2=1886，∑XY=90340这里x是一般变量，Y是随机变量，则变量Y关于x的回归方程的截距0和斜率1分2别为（A）A．-1.89859和0.02366B．2.81408和0.90503C．-3.85575和0.02665D．0.02366和9.81408分析：由课本P202公式（9.7），（9.12），（9.13）可知12903401065513.60.02366434350010655xyxxLL，故（A）正确。或者由回归直线01yx必过点(,)(655,13.6)xy，把各答案代入验证即可。二．填空题（每小题3分，共15分）1．设随机变量X服从泊松分布()P，且{1}{2}PXPX，则{3}PX3223!e.分析：{1}{2}PXPX，由泊松分布律1221!2!ee，故322{3}3!PXe。2．设(0,1),21XNYX，则{12}PY2(1)1或0.7.分析：(0,1)21(1,4)XNYXN，3111{12}{13}()()(1)(1)2(1)20.722PYPY。3．设正态总体2(,)N，2未知，则的置信度1的置信区间的长度L为/22(1)Stnn.4．设总体2(0,)XN，1X，2X，3X，4X为该总体的一个样本，则统计量212234()()XXYXX服从(1,1)F分布.分析：由于21234(0,),,,XNXXXX均服从正态分布2(0,)N，所以222121212(0,2)(0,1)(1)22XXXXXXNN标准化（），222343434(0,2)(0,1)(1)22XXXXXXNN标准化（），3综合得22122(1)12223434()2F,1()2XXXXYXXXX分布的比（）（1）（）。5．某单因素方差分析表的结果如下表：方差来源平方和自由度组间9.266组内4总和10.812则F值为3.0202.分析：见课本P169表8-3，掌握该表内容即可。三．（10分）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为2：5：3，而三个地区感染此病的比例分别为6%，4%，3%.现从这三个地区任意抽取一个人，问（1）此人感染此病的概率是多少？（2）如果此人感染此病，此人选自乙地区的概率是多少？分析：问题中的事件关系如下甲地区的人乙地区的人此人染病丙地区的人，故此人染病的概率用全概率公式求。解设B＝{此人感染此病}，A1，A2，A3分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区…………………1分由已知，有1()0.2PA，2()0.5PA，3()0.3PA，1()0.06PBA，2()0.04PBA，3()0.03PBA…………………2分（1）由全概率公式有112233()()()()()()()0.20.060.50.040.30.030.041PBPAPBAPAPBAPAPBA…………………3分（2）由贝叶斯公式有112()()0.20.0612()0.2927.()0.04141PAPBAPABPB…………………3分答：从三个地区任意抽取一人，感染此流行病的概率为0.041；若已知此人染病，此人来自乙地区的概率约为0.2927.……………………………………1分四．（12分）设随机变量的分布密度为：21,1()10,1xfxxx当当4求：（1）11-22pX；（2）分布函数()Fx解(1)11-22pX=120121221121arcsin31dxxx…………………4分（2）X的分布函数为121112110,10,11111()()0,11arcsin,11211,11100,11xxxxdtxxFxftdtdtdtxxxxxdtdtdtxx五．（8分）设随机变量X的分布函数为(),,1xxBeFxAxe求：（1）常数A与B的值；（2）X的概率密度函数().fx解（1）由()0,()1FF可得……………………………1分lim001xxxBeAABAe和lim11xxxBeAABe……3分由上两式可解得0,1AB，即X的分布函数为(),.1xxeFxxe……………………………1分（2）由()()fxFx可得X的概率密度函数表达式为…………………1分2(),.11xxxxeefxxee…………………2分六.（12分）设随机变量(,)XY的联合分布密度函数是34,0,0(,)0,xykexyfxy其他，求：（1）k的值；（2）判断X和Y是否独立；（3）1PXY.解（1）由34340000(,)112xyxykfxydxdykedxdykedxedy5可得12k…………………2分（2）3430123,(0)()(,)00,(0)xyxXedyexfxfxydydyx…………………………2分同理44,0()0,0yYeyfyy…………………………2分由以上求出的两个边缘密度函数表达式可知，对于一切x，y，有(,)()()XYfxyfxfy则可证明X与Y相互独立.……………………………………………………2分（3）11113434000011(,)123xxxyxyxyPXYfxydxdydxedyeedx11134434344300031333134xxxxxxeedxeedxeeee…………………4分七．（8分）设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则重新任取一只；若仍是废品，则仍再任取一只.求在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差.解令X表示取到正品之前已经取出的废品的数，则X的可能取值为0，1，2，……………………………………1分X的分布律为8{0}10PX，288{1}10945PX，2181{2}109845PX，即……………………………………………2分012881104545XP所以88120121045459EX，…………………………………2分2222881401210454515EX…………………………………2分224488().1581405DXEXEX………………………………1分八．(10分)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取26位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，6是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.解设该次考试的考生成绩为X，则2(,)XN，把从X中抽取的容量为n=26的样本均值记为66.5X，样本标准差为S=15.本题是在显著水平0.05下①检验假设01:70,:70.HH由于2未知，用t检验法.……3分②检验所用统计量/XTSn，拒绝域2(1)Ttn③而66.5701.191526T，临界值/20.025(1)(25)2.060tnt，④故1.192.060T，所以统计量T未落入接受域中，从而接受H0，即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.九．（10分）设12,,,nXXX为总体X的一个样本，X的密度函数为(1),01()0,xxfx其他，其中0，求参数的矩估计量和极大似然估计量.解（1）1011(1)221EXxxdxEX……………2分矩估计法用X估计EX，故12121XXX即的矩估计量为21ˆ1XX……2分（2）似然函数121212()()()(1)(1)(1)(1)()nnnnLfxfxfxxxxxxx……2分两边取对数1lnln(1)lnniiLnx………………………………1分令1lnln01niiLnx…………………………………………27解得极大似然估计量为11lnniinx…………………………1分