解题方法归纳第四章三角函数部分

1三角函数部分4.1任意角的三角函数1.象限角、轴上角；2.任意角的三角函数定义；3.单位圆与三角函数线，三角函数值的符号及诱导公式；4.弧长公式：l=αr，S=21rl例1（1）对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是（）A.sin（α＋β）sinα＋sinβ;B.sin（α＋β）cosα＋cosβ;C.cos（α＋β）sinα＋sinβ;D.cos（α＋β）cosα＋cosβ（2）若cosθ＞0且sin2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限（3）已知sinθ+cosθ=51，θ∈(0,)则cosθ的值是（4）已知tanα是方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根，求α的值。（5）已知sin(θ+)0,cos(θ-)0，则下列不等式关系中必定成立的是（）A.2cot2tan;B.2cot2tan;C.2cos2sin;D.2cos2sin(6)若函数f(x)=)2cos(2sin)2sin(42cos1xxaxx的最大值是2，试确定常数a的值。例2：求函数y=log(tanx+1)(2sinx+1)的定义域2例3：已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R（1）若α=600，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值c（c0），当α为多少时，该扇形面积有最大值？例4：（1）已知f(n)=sin3n，则f(1)+f(2)+…+f(2008)的值等于（）A.3;B.23;C.0;D.-23（2）设α是第三象限的角给出下列不等式①sinα+cosα0;②tan2α-sinα0;③cosα－cotα0④secα－cscα0⑤sinα－tanα0其中恒成立的不等式的序号是（3）若sinα+cosα=tanα（0α2），则α∈（）A.（0,6）B.（6,4）C.（4,3）D.（3,2）（4）已知α的始边为x轴的非负半轴，终边在直线y=kx上，若sinα=2/5且cosα0，求实数k34.2同角三角函数的基本关系式1、基本关系式;2、诱导公式例1已知cotα=m（m≠0），则cosα等于cosα=土21mm(α∈ⅠⅡ取“+”，α∈ⅢⅣ取“-”)例2已知aaacossinsin=－1，求下列各式的值。(1)cossincos3sin;(2)sin2α+sinαcosα+2例3已知点P(x，y)是双曲线x2－y2=4上的任意点，求表达式24x－xy的取值范围。例4（1）已知sinx-siny=－32，cosx-cosy=32且x、y为锐角，则tan（x-y）的值是（）A.5142；B.-5142；C.土5142；D.土28145（2）若f(sinx)=2-cos2x，则f(cosx)=（）A、2-sin2xB、2+sin2xC、2-cos2xD、2+cos2x（3）求函数f（x）=xxxxx2sin2cossincossin2244的最小正周期最大值和最小值（4）已知向量a=（cos2α，sinα）向量b=（1，2sinα-1）,α∈（2，），a·b=52，则cos（α+4）的值是-10274（5）若x≥0，y≥0，x+y=2，则f(x、y)=cosx+cosy的值域是。例5（2007，淮坊）已知sinθ，cosθ且方程x2-(13)x+m=0的两根，（1）求m的值，（2）求tan1coscot1sin的值。例6（07湖南模）已知A（3，0）B（0，3）,C（cosα，sinα）（1）若AC·BC=-1，求sin2α的值。（2）若∣OA+OC∣=13且α∈（0，），求OB与OC的夹角。例7（2006年天津）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB·BC=6，AB与BC的夹角为θ。（1）求θ的取值范围；（2）求函数f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最小值54.3两角和与差的三角函数tan2=cos1sin=sincos1要点：1、降幂公式：cos2α=22cos1sin2α=22cos1升幂公式1+cos2α=2cos2α1-cos2α=2sin2α2、要注意公式的适用范围3、要熟悉角的拆拼，变换的技巧，倍角和半角的相对性，如2α=(α+β)+(α－β)，α=(α+β)－β=(α－β)+β。3是32的半角，2是4的倍角。4、辅助角法，是三角变换的重要技巧如应用如下重要结论（asinx+bcosx=22basin（x+φ）其中sinφ=22bab,cosφ=22baa）解题，特别是求单调性，周期，最值等方面，应用更为广泛，历届高考中频频出现，应予以重视例1，若α、β∈（0，），cosα=－507；tanβ=－31求α+2β的值。例2：（1）化简2sin1300+sin1000（1+3tan3700）（2）求sin60sin420sin660sin780例3已知f(x)=xxxxcossin1sincos1+xxxxcossin1sincos1且x≠2k+2,k∈Z,(1)化简f(x);(2)是否存在x，使得tan2x·f(x)与xxsin2tan12相等？若存在，求x的值，若不存在说明理由。6例4（2005年湖南）已知在△ABC中，sinA（sinB+cosB）－sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小。例5，设cos(α-2)=－91，sin(2-β)=32，其中α∈(2，)，β∈(0，2)，求cos)(，[点拔]2=(α－2)－(2－β)，利用同角三角函数间关系求sin(α-2)，cos(2-β)即可。例6、已知函数f(x)=asinx+bcosx（1）.当f(4)=2，且f(x)的最大值为10，求a，b的值（2）.当f(3)=1，且f(x)的最小值为k时，求k的取值范围。7例7、（2006四川高考）已知A、B、C是△ABC三内角，向量m=（-1，3），n=（cosA,sinA），且m·n=1。（1）求角A，（2）若BBB22sincos2sin1=-3，求tanC。例8（1）已知sina=55，Sinβ=1010,且α、β均为锐角，则α+β的值是（）A、450B1350或450C、1350D、以上都不对（2）设A、B为△ABC的内角，且cosA=53，sinB=135，则sin(A+B)的值是（）A.6563或－6516B.6516C.6516或－6563D.656384.4三角函式的化简，求值和证明1、（1）注意对公式的变形使用如：tanα+tanβ=tan(α＋β)（1－tanαtanβ）sin2α=sin[(α＋β)+(α-β)]sin(α＋2β)=sin[(α＋β)+β]cos2α=22cos1asin2α=22cos1atanα=2sin2cos1a=2cos12sina等（2）辅助角公式：asinx+bcosx=22basin(x+)其中sin=22bab，cos=22baa2、基本公式的应用策略化简（1）常用方法，降次，消元，去根号，去分母。（2）恒等式证明常用方法，化繁为简或等价转化。3、三角恒等变换的基本题型：化简，求值，证明4、三角恒等变换所涉及的求值，化简，证明等问题，其实质都是对三角式的化简，核心是公式变换，三角公式在三角式化简中所起的作用，有以下三个方面：①变名：通过同角三角函数关系式，诱导公式等，达到统一函数名称的目的。②变角：通过诱导公式、和差倍角等三角函数公式，达到统一角的目的。③变幂：通过二倍的余弦公式及变形，有效地进行升次或降次达到统一幂的目的。例1.化简（1）sec)sin(－2sin)2sin(（2）)4(sin)4tan(221cos2cos2224xxxx9例2已知向量552||),sin,(cos),sin,(cosbaba。(1)求cos(α－β)的值；(2)若202，且sinβ=115,求sinα(注意角的拆与拼α=(α－β)+β)例3.已知α、β∈（0、2）3sin2α+2sin2β=13sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2[点拔]求证：α+2β=2，只需证明sin（α+2β）=1或cos（α+2β））=0或2β=2-α。例4.已知A，B，C是三角形ABC的三内角，y=cotA+)cos(cossin2CBAA(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。(2)求y的最小值。例5.设定义域为R的奇函数f(x)是减函数，若0≤θ≤π/2，f(cos2θ－2msinθ)+f(3m－5)0恒成立。求m的取值范围。10例6求证cossin1cossin1=tan2注：判断函数f(x)=xxxxcossin1cossin1的奇偶性例7（1）已知sin=54且sin-cos1,则sin2等于（）A.—2524B.—2512C.—54D.2524（2）若是第三象限的角，且sin4+cos4=95，那么sin2的值为（）A.32B.—32C.322D.—322（3）当ab0时，如果直线ax+by+c=0的倾斜角满足cos2=sin1－sin1,则直线的斜率为。114.5三角函数的图象与性质1.三角函数的图象与性质y=sinx单调区间[2k-2x,2kx+2](kz)单调递增[2k+2x,2k+23]（kz）单调递减y=cosx[2k-,2k](kz)单调递增[2k,2k+x](kz)单调递减y=tanx（k-2,k+2）(kz)单调递增2五点法3变换：相位周期振幅4周期：y=ASin(ωx+φ)y=Acos(ωx+φ)Aω≠0T=||2y=A∣sin(ωx+φ)∣T=||y=Atan(ωx+φ)(wA≠0)T=||y=A∣tan(ωx+φ)∣T=||5对称轴.y=sinxx=k+2(kz)y=cosxx=k(kz)对称中心y=sinx(k,0)(kz)y=cosx(k+2,0)(kz)y=tanx(21k,0)(kz)例1．已知函数f(x)=2cosxsin(x+3)－3sin2x+sinxcosx(1)求f(x)的单调减区间(2)将f(x)的图象按向量a=(m,0)平移成为偶函数，求m的最小正值。12例2．已知向量a=(3sinx,cosx),b=(cosx,cosx),c=(23,1)(1)若a//c,求sinxcosx的值(2)若0＜x≤3,求函数f(x)=a·b的值域例3如图所示，函数y=Asin(ωx+φ)（A0，ω0）的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为（125，3）和（1211，-3），求该函数的解析式。例4.已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是实数，且ω0）的最小正周期为2，且当x=31时，f(x)取得最大值2。（1）求函数f(x)的解析式；（2）在闭区间[421，423]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在，求出其对称轴，如果不存在，说明理由。yox1251211-3313例5（1）(2005年天津)已知函数f(x)=asinx－bcosx(a、b为常数，a≠0，x∈R)的图象关于直线x=4对象，则函数y=f(43－x)是（）A.偶函数且它的图象关于点(,0)对称;B.偶函数且它的图象关于点(23,0)对称;C.奇函数且它的图象关于点(23,0)对称;D.奇函数且它的图象关于点(,0)对称。（2）若函数f(x)=sinωx+3cosωx，x∈R,又f(α)=-2，f(β)=0，且|α-β|的最小值为43，则正数ω的值为（）A、31B、32