紧束缚近似下立方晶系s态原子等能面的MATLAB模拟

紧束缚近似下立方晶系s态原子等能面的MATLAB模拟肖瑞春,陶松涛安徽师范大学物理与电子信息学院摘要:在紧束缚近似情况下,用MATLAB绘制立方晶系S态电子在第一布里渊区的等能面,并展示在能量递增的情况下,等能面的变化过程.从而给出了一幅等能面的清晰的物理图像.关键字：立方晶系;等能面;布里渊区;MATLAB1.引言能带理论研究是固体物理研究中十分重要的手段,对于晶体电子的能量色散关系、等能面等内容的研究可以有效地理解晶体的物理性质.然而等能面的表达式比较复杂,空间几何结构很难想象,一般的绘图软件很难给出一个清晰的物理图像.笔者针对这种情况,在紧束缚近似下利用MATLAB就立方晶系s态原子等能面进行计算机模拟.利用这一方法不仅能方便地绘制出立方晶系在布里渊区内电子的等能面,而且能形象地展示况下等能面的变化情况.2.紧束缚近似下,立方晶系原子s态能级形成的能带在紧束缚近似下,如果重叠积分只保留近邻项,考虑到s原子态波函数具有球对称性,在各个方向重叠积分相同,则s态原子能级形成的能带的一般表达式为：ss01()ssikRRNearestEkJJe其中s为孤立电子s态的本征值,J0和J1代表重叠积分：20s()[()()]=0，sJUVdR*1()()[()()]()}0，（为近邻矢径）sssssJJRRUVdR以上可以看出,能带宽度决定于J1,而J1的大小又主要决定于近邻原子波函数之间的相互重叠,重叠越多,形成的能带越宽.对于内层电子,重叠电子云较多，重叠积分较大;对于外层电子,重叠电子云较少，重叠积分较小.把简立方、面心立方和体心立方晶格的近邻格点代入方程（1.1）,得到立方晶系原子s态能级形成的能带：1)简立方的由原子s态形成的能带简立方晶格6个近邻格点为：(a,0,0)、(0,a,0)、(0,0,a)、(-a,0,0)、(0,-a,0)、(0,0,-a)把六个近邻格矢Rs带入（1.5）式得：01()2(coscoscos)ssxyzEkJJkakaka由此得Es的范围是：s010166ssJJEJJ简立方的第一布里渊区为如图1所示的简立方,在布里渊区几个点的能量：s01:(0,0,0)6skEJJs01点：=(0,0,)42skEJJas01:(0,0,):(,,0)222点和点skkEJJaaas0点：=,,222skEJaaa01点：=,,222ssSkEJJaaas01点：=,,42sTkEJJaaas01:(,,)6点sRkEJJaaaΓ点和R点分别对应能带底和能带顶,能带与原子的能级关系如图所示：图1简立方的第一布里渊区图2简立方的由原子s态形成的能带2)面心立方的由原子s态形成的能带面立方晶格12个近邻格点为：,,022,,022,,022,,022aaaaaaaa0,,220,,220,,220,,22aaaaaaaa,0,22,0,22,0,22,0,22aaaaaaaa把12个近邻格矢Rs带入（1.5）式得：()()()()2222()()()()222201()()()()2222+()++xyxyxyxyxzxzxzxzyzyzyzyzaaaaikkikkikkikkaaaaikkikkikkikkssaaaaikkikkikkikkeeeeEkJJeeeeeeee014coscoscoscoscoscos222222sxyyzzxaaaaaaJJkkkkkk由此的Es的范围是：S0101124ssJJEJJ面心立方晶格的第一布里渊区为如图3所示的截角八面体.在第一布里渊区内几个点的能量：s01s0s01:(0,0,0)12:(,,)2X:(,0,0)+4ssskEJJLkEJaaakEJJaΓ点和X点分别对应能带底和能带顶.3)体心立方的由原子s态形成的能带体心立方晶格8个近邻格点为：,,222,,222,,222,,222aaaaaaaaaaaa,,222,,222,,222,,222aaaaaaaaaaaa把8个近邻格矢Rs带入（1.5）式得：()()()()222201()()()()222201()8coscoscos222xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzaaaaikkkikkkikkkikkkssaaaaikkkikkkikkkikkksxyzeeeeEkJJeeeeaaaJJkkk由此得Es的范围是：S010188ssJJEJJ体心立方的第一布里渊区为菱形十二面体,第一布里渊区内几个点的能量：图3面心立方晶格的第里渊区s01s0s01:(0,0,0)8:(,,)2X:(,0,0)8iiikEJJLkEJaaakEJJa3.等能面在能带底与能带顶的行为以简立方为例：1)能带底附近将01()2(coscoscos)sixyzEkJJkakaka在Γ(k→0)附近将()sEk按泰勒级数展开,由x→0cosx≈1-1/2x2得：222222012222011111()2(1)(1)(1)2226()ssxyzsxyzEkJJkakakaJJJkkka(1.1)设在能带底附近等能面为：016+EiJJ,带入上式得：2222010116+E6()ssxyzJJJJJkkka因此在能带底附近等能面形成的图形为球形,球心为:(0,0,0)k,半径：21EJa.2)能带顶附近在能带顶部R点附近,将()sEk按泰勒级数展开,此时=kka0,,,kxyz,时,221cos=cos12kakakaaa得：0101yz2222011()2(coscoscos)2cos()cos()cos()+6()()()ssxyzsxsxyzEkJJkakakaJJkakakaaaaJJJkkkaaaa设在能带底附近等能面为：016+E,E0sJJ,带入上式得：222201101+6()()()6EsxyzsJJJkkkaJJaaa考虑布里渊区对等能面的限制,因此在能带底附近等能面形成的图形为18球形,球心为布里渊区8个体对角线顶点,半径为21EJa.面心立方与体心立方等能面在带顶与带底附近的等能面与此类似.4.MATLAB设计思路及步骤图4体心立方晶格的布里渊区绘图过程遵循MATLAB三维绘图的基本流程：(1)数据准备：将物理量的无量纲化,确定倒格子k的范围;(2)并构建三维数组,生成三维网格;(3)选取合适的数组运算表示等能面函数;(4)用程序流程控制语句对在布里渊区外的倒格矢k进行限制;(5)用绘图指令isosurface、patch绘制等能面;(6)对图像属性进行设置：表面颜色和边界线颜色等属性设置;(7)绘制布里渊区轮廓;(8)对视角、光照效果、坐标轴进行设置.5.绘图模拟结果按能量从大到小顺序,等能面演变如图所示：（左图为三维图,又图为俯视图）1)简立方的等能面图5E=ℇs-J0-4J1图6E=ℇs-J0-2J1注：图中等能面的顶点连线构成一个正八面体,但表面仍为曲面.图7E=ℇs-J0图8E=ℇs-J0+J1图9E=ℇs-J0+2J1图10E=ℇs-J0+4J12)面心立方的等能面图11E=ℇs-J0-8J1图12E=ℇs-J0注：图中等能面的顶点连线构成一个正方体,但表面仍为曲面.图13E=ℇs-J0+0.8J1图14E=ℇs-J0+3.2J13)体心立方的等能面图15E=ℇs-J0-3.2J1图16E=ℇs-J0注：图中的等能能面为边长为2a正方体图17E=ℇs-J0+3.2J16.结束语从模拟结果可以看出,在第一布里渊区中立方晶系晶格中电子的等能面在能量取值较小时与自由电子近似的等能面相似;随着电子能量数值增加,等能面的形状发生地剧烈变化.由理论推知,晶格中的周期势场是影响等能面形状变化的主要因素.最后还要说明的是,由于计算机有强大的人机交互功能,可以随意改变某些参数,也可以使曲面三维旋转,这就使得这些抽象的概念能够形象、生动地展现出来.参考文献：[1]黄昆,韩汝琦.固体物理学[M].北京:高等教育出版社,1988.[2]王正林,刘明.精通MATLAB7[M].北京:电子工业出版社,2006.7.[3]郑阿奇,曹揖编.MATLAB实用教程[M].北京:电子工业出版社,2007.8.[4]ThedeHaas-vanAlphenEffectandtheElectronicStructureofMetalsD.Shoenberg,Phy.Trans.Roy.Soc.(London)A255,85(1962)[5]钟万蘅,申文俊.二维正方晶格和三维立方晶格电子的等能面[J].大学物理,1999,5,18(5):40-42[6]刘建军,华厚玉.简立方晶格s态电子等能面的计算机模拟[J].淮北煤炭师范学院学报,2005,9,26(3),23-25附面心立方等能面绘图程序：%面心立方等能面（定义倒格子常数为4）-1val3figure[x,y,z]=meshgrid(linspace(-2,2,101));x1=x(1,:,1);y1=y(:,1,1);z1=z(1,1,:);val=(cos(0.5*pi*x).*cos(0.5*pi*y)+cos(0.5*pi*y).*cos(0.5*pi*z)+cos(0.5*pi*z).*cos(0.5*pi*x));%等能面方程fori=1:101forj=1:101fork=1:101ifx1(i)+y1(j)+z1(k)-30|x1(i)-y1(j)+z1(k)-30|-x1(i)-y1(j)+z1(k)-30|-x1(i)+y1(j)+z1(k)-30|x1(i)+y1(j)-z1(k)-30|x1(i)-y1(j)-z1(k)-30|-x1(i)-y1(j)-z1(k)-30|-x1(i)+y1(j)-z1(k)-30;val(i,j,k)=NaN;%在布里渊区以外等能面的设为非数endendendendp=patch(isosurface(x,y,z,val,-0.2));%绘面心立方等能面set(p,'FaceColor','yellow','EdgeColor','none');%设置等能面颜色%绘面心立方的布里渊区：截角八面体Vm1=[102;0-12;-102;012;10-2;0-1-2;-10-2;01-2;120;021;-120;02-1;1-20;0-21;-1-20;0-2-1;-2-10;-201;-210;-2