三角函数基础知识

三角函数基础知识三角函数知识系统性很强，其推导公式的过程也就是理解、记忆、典型应用公式的过程，因此记忆公式的最好办法就是反复多次的推导公式。一、弧度制、扇形的弧长公式、扇形的面积公式角度数1806045301弧度数1度量制度角度制弧度制图形圆心角扇形弧长l扇形面积S圆心角扇形弧长l扇形面积S整圆3602rad半圆180rad扇形11radnrad二、轴上角和象限角（kZ）表达式子023202232322终边位置终边位置一象限平分线二象限平分线一三象限平分线二四象限平分线表达式子三、三角函数的定义定义方法（角A、）三角函数名称正弦sin余弦cos正切tan余切cot正割sec余割cscRtABC中（斜边AB）直角坐标系中终边位置正x轴负x轴正y轴负y轴I象限II象限III象限IV象限表达式子四、同角三角函数关系关系名称导出方法公式表达式平方关系同分母的两个的平方和(或差)等于1商数关系同分母的两个的商等于第三个函数倒数关系分子、分母互换的两个的乘积等于12(sincos)12sincos，22(sincos)(sincos)2五、诱导公式口诀奇变偶不变，符号看象限（奇数2时名称要变，偶数2时名称不变）函数名不变，符号看象限正余名互变，符号看象限角2k（kZ）223232sincostancotseccsc【说明】用诱导公式求(或化简、比较)数值角的三角函数值的大小时，口诀是“负化正，大化小，化到锐角就行了”。特殊角的三角函数值要用数值作答。六、特殊角的三角函数值利用两个特殊直角三角形和在直角三角形中三角函数的定义填写表中（一），利用单位圆与坐标轴交点的坐标和三角函数的坐标法定义填写表中（二），利用6n（5,7,11n）与6、3n(2,4,5n)与3、(3,5,7)4nn与4的同名三角函数值关系“绝对值不变，符号看象限”填写表（三）。表序一二三64302325676116345474234353sincostancotseccsc十、最简单三角函数的图象与性质()kZ解析式sinyxcosyxtanyx图象定义域(,)(,){|,}2xxkkZ值域[1,1][1,1]R最值max1y（22xk）max1y（2xk）无最大值和最小值min1y（22xk）min1y（2xk）有界性有界有界无界奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性2T2TT单调性[2,2]22kk[2,2]kk(,)22kk3[2,2]22kk[2,2]kk对称性对称中心为(,0)k对称中心为(,0)2k对称中心为(,0)2k对称轴为2xk对称轴为xk无对称轴十一、sin()yAx的图象与图象变换()kZ（一）sin()yAx的图象及性质项目三角函数sin()yAx（0A，0）图象作法列表描点法：“叁零两最”五点法待定坐标法图象变换法x02322先从上升段零点开始作一个周期的图象，后写出“叁零两最”五个关键点的坐标。最后作出y轴并标上A和A。变换前要逆用诱导公式进行三统一：统一函数名称；统一函数前面的符号；统一x前面的符号。变换口诀为“图进标退，图伸标缩”。x1x2x3x4x5xy010-10函数性质振幅周期频率对称轴对称中心A2T12fTkxx且2kxk(,0)kx且kxktan()yAx无定义T1fT无(,0)kx2kkx（二）图象变换（口诀：图进标退，图伸标缩）变换后变换前sin()yxsinyxBsinyAxsin()yx左右平移上下平移振幅变换周期变换sinyx0时，向左平移个单位0B时，向上移B个单位1A时，横坐标不变，纵坐标伸长为原A倍1时，横不变，纵缩短为1/倍0时，向右平移||个单位0B时，向下移||B个单位01A时，横坐标不变，纵坐标缩短为原A倍01时，横不变，纵伸长为1/倍变换后变换前sin()yAx注意：两种途径平移时的平移量不同。方法一：先平移，后伸缩方法二：先伸缩，后平移sinyx先将sinyx向__平移__个单位；再将图象上的点___坐标不变，坐标__变为原来的___倍。先将sinyx上的点坐标不变，坐标变为原来的___倍；再将图象向___平移___个单位。Oxy22388十二、函数sin()yAx(0,A0,02)的图式快速互求法1.用“待定坐标法”快速作图——先作图，后作轴和写关键点的坐标。（1）画x轴和曲线如上图，在x轴上标出五个关键点A、B、C、D、E的横坐标。从第一个上升段上的零点A开始的一个周期的五个关键点A、B、C、D、E（“叁零两最”）的相位x的值依次为0、2、、32、2。据此算出A、B、C、D、E的横坐标并标示在x轴上。（2）作原点O和作y轴。设nm（,mnN）。当nm时，把AC进行m等分，原点O为从A到C的第n个分点；当2mnm时，由()nmnm知道，把CE进行在m等分，原点O为从C到E的第nm个分点。由此作出y轴，并在y轴上标示出A和A。2.由图象快速求出解析式sin()yAx(0,A0,02)。（1）振幅maxmin2yy,maxmin2yyy中位；（2）从图象看出两个已知关键点的横坐标之差是周期的几分之几；（3）当ABCDExxxxxx、、、、时，对应的30222x、、、、。（4）的值允许相差2()kkZ。3.的取值范围与y轴的位置关系：在上图中（1）当02时，y轴与AB段相交；（2）当2时，y轴与BC段相交；（3）当32时，y轴与CD段相交；（4）当322时，y轴与DE段相交。练习：1.作下列函数的大致图象：（1）3sin(2)3yx；(3)3sin(2)6yx；(3)cos(2)4yx。2.已知函数sin()yAx（0A，||）的一段图象如下图所示，求函数的解析式。