二次函数在几何图形中的应用

1二次函数在几何图形中的应用一、二次函数与三角形的综合应用在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其面积是这一边长的二次函数。例题1如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）A.4mB.3mC.2mD.52mABCD5m12m解析：根据长方形的面积＝大三角形的面积－两个小三角形的面积确定x与y之间的函数关系式，求出函数值y最大时自变量x的取值即可。答案：根据题意得：y＝30－12（5－x）×yx－12x（12－yx），整理得y＝－125x2＋12x＝－125[x2－5x＋（52）2－254]＝－125（x－52）2＋15．∵－125＜0，∴长方形面积有最大值，当长方形面积最大时，边长x应为52m，故选D。点拨：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝－x2－2x＋5，y＝3x2－6x＋1等用配方法求解比较简单。二、二次函数与圆的综合应用在圆的问题中，设半径或直径为自变量，则圆面积是半径或直径的二次函数。例题2某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到0.01m2）2解析：先将图形分割成半圆和矩形，分别表示各部分的面积，建立函数关系式，再利用二次函数的性质求最值。本题的突破口是找出圆的半径与小矩形竖直边长之间的关系。答案：设半圆的半径为rm，小矩形的竖直边长为ym，大矩形水平边长为2rm。则4y＋7r＋πr＝15，∴y＝1574rr。设窗户的面积为S，则S＝12πr2＋2ry＝12πr2＋2r×1574rr＝－3.5r2＋7.5r，因为－3.5＜0，所以S有最大值。当r＝－7.52×（－3.5）≈1.07（m）时，S最大值＝－（7.5）24×（－3.5）≈4.02（m2）。即当半径约为1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m2。点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。三、二次函数与几何图形的实际应用首先，能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。其次，会利用二次函数解决与几何图形相关的实际应用问题。建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时，关键是找出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长与高之间的关系不明显时，常常把几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题转化。例题3某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O。已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4。（1）求a的值；（2）点C（－1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积。解析：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函数解析式。解答这类问题时注意充分利用图象中的某些特殊点，如顶点、抛物线与x轴的交点等。理解线段的长度与点的坐标之间的关系是解题关键。3ABCDEFOxy答案：解：（1）∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B（4，0），把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0，解得：a＝14；（2）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，∵a＝14，∴y＝14x2－4，令x＝－1，∴m＝14×（－1）2－4＝－154，∴C（－1，－154），∵C关于原点的对称点为D，∴D的坐标为（1，154），则CE＝DF＝154，S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD的面积为15平方米。