用1.1.6旋转体的结构特征(圆柱、圆锥、圆台、球)

1.1.6旋转体的结构特征——圆柱、圆锥、圆台、球旋转一周。。。矩形直角三角形半圆直角梯形圆柱圆锥球圆台一、圆柱的结构特征矩形O1O圆柱定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。（4）无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。（2）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。（1）旋转轴叫做圆柱的轴。A’B’AA’OBO’轴底面侧面母线2.圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。轴母线底面侧面OO13.圆柱与棱柱统称为柱体。棱柱柱体圆柱二、圆锥的结构特征直角三角形SAO1.定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。（1）旋转轴叫做圆锥的轴。（2）垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。（3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。（4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。轴底面侧面母线OSBA轴底面侧面母线2.圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。3.圆锥与棱锥统称为锥体。棱锥椎体圆锥动脑想一想棱锥可以被截成棱台，那么，圆锥呢？三、圆台的结构特征1.定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。圆台的第二定义：以直角梯形的垂直底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆台。O'O底面底面轴侧面母线2.圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′3.圆台与棱台统称为台体。棱台台体圆台思考题1：平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？性质1：平行于底面的截面都是圆.动脑想一想思考题2:过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的等腰梯形.(这些图形称为它们的特征图形，在做题中经常用到.)动脑想一想四、球的结构特征1.球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。半径直径球心O球面的第二定义:空间中,到定点的距离等于定长的所有点围成的几何体.轴（1）半圆的半径叫做球的半径。（2）半圆的圆心叫做球心。（3）半圆的直径叫做球的直径。（4）半圆弧旋转所成的曲面叫球面.2.球的表示：用表示球心的字母表示，如球O.O球心半径AB半径直径用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆。想一想？圆柱、圆锥、圆台、球性质小结性质1：平行于底面的截面都是圆.性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的等腰梯形.(这些图形称为它们的特征图形，在做题中经常用到.)性质3：用一个平面去截球体得到的截面是一个圆。1.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长为10cm，求圆锥的母线长。解：设圆锥的母线长为y，则有40()340.3ycmcm答：圆锥的母线长为OABCODE10cmABOCDEO(y-10):y=O′D:OB=1：4，∴4(y-10)=y，题型一、旋转体的概念例下列叙述中正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．题型一、旋转体的概念[解题过程]①中以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体．故①不正确．②中以直角梯形中垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，以不垂直底边的腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱和圆锥的组合体，故②不正确．③正确．④中用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．若截面不平行于底面，则不能得到一个圆锥和一个圆台，故④不正确．③2．给出下列四种说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．②④D．①③练习C练习×3.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球．(2)空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球面．(3)一个圆绕其直径旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球．(4)球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个．(5)用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面．解析：(1)不正确，满足定长的点仅仅构成一个球面，条件改为“小于等于r”即可．(2)正确(3)正确(4)不正确．对称中心只有一个，即球心．(5)不正确．用平面去截球，无论平面角度如何变换、截面总是圆面．√√××4.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．分析：在圆台的轴截面是等腰梯形，注意轴截面中的相似关系．练习解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2cm，下底一半OB＝5cm.又因为腰长为12cm，所以高AM＝122－5－22＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，解得l＝20cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.方法总结：解决圆台问题，一般都需要把圆台恢复到圆锥，然后利用轴截面和相似关系解决！例如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？题型二、旋转体的侧面展开图[规范解答]把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.4分∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，6分∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋2π2＝21＋π2，10分所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.12分[规律总结]解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：1.若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？练习解析：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2.所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.题型三、球的轴截面过球心的截面称为球的轴截面.不过球心的截面称为球的一般截面.右图中是球截面的一个很重要的轴截面，在计算问题中常常用到里边的红色的Rt三角形.例已知球心到球的一个截面的距离为5,截面圆的半径为12,求球的半径.OO′RRrd解：如图，∵球O的一个截面的半径为12，设截面的半径为r，r=12，又∵球心O到这个截面的距离d=5，故答案为：13．则球的半径.rd2222R12513OO′RR125练习1.半径为5的球被一个平面截得的截面面积为9π，则这个平面与球心的距离为（）A．3B．4C．5D．6BOO′2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且距离为1，则球的半径是．33.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36πcm2，64πcm2，求这两个平行平面的距离．2cm或14cm以上我们学习了柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征.课堂小结简单几何体的结构特征柱体锥体台体球棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较结构特征棱柱棱锥棱台定义底面侧面侧棱平行于底面的截面过不相邻两侧棱的截面两底面是全等的多边形平行四边形平行且相等与两底面是全等的多边形平行四边形多边形三角形相交于顶点与底面是相似的多边形三角形两底面是相似的多边形梯形延长线交于一点与两底面是相似的多边形梯形圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较结构特征圆柱圆锥圆台球定义底面侧面展开图母线平行于底面的截面轴截面两底面是平行且半径相等的圆矩形平行且相等与两底面是平行且半径相等的圆矩形圆扇形相交于顶点平行于底面且半径不相等的圆等腰三角形两底面平行但半径不相等扇环延长线交于一点与两底面是平行但半径不相等的圆等腰梯形无不可展开无圆全体截面都是圆达标训练1.(2014•福建)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．1A2.（2013•江西一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1，O2将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图形是（）A．B．C．D．D3.下列说法一定正确的是（）A．直角三角形绕其一边旋转形成圆锥B．等边三角形绕其一边旋转形成圆锥C．平面截圆锥所得的图形是圆D．过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形D达标训练4.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为.1:(21)5.以下命题正确的是（）A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台C6.在图中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，圆柱的高为3，底面半径为，若从M点绕圆柱体的侧面旋转到达N点，则最短路程是（）A．3B．7C．8D．52πD达标训练7.下列命题正确的是（）A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D．圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径A8.充满气的车轮内胎可由下面哪一个图形绕对称轴旋转得到（）A．B．C．D．D9.用任一平面去截下列几何体，截面一定是圆面的是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．圆台C达标训练A10.经过旋转可以得到图中几何体的是下列图中的（）A．B．C．D．11.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能B12.用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径之比是1：4，圆台的母线长10cm．求此圆锥的母线长cm.40313.圆台的上、下底面面积分别为π和49π，过其轴的中点且平行两底的截面面积为.16π14.圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2：1两部分，则截面的面积为．100π