第4章弯曲内力.

工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束第四章弯曲内力4.1工程实际中的弯曲问题PPPPPPPP工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束简支梁外伸梁悬臂梁根据梁的支承情况，在工程实际中常将梁分为三种类型工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束通过梁的轴线和截面对称轴的平面叫做纵向对称面。在多数情况下，梁上的外力均垂直于梁的轴线，并作用在纵向对称面内，在这样的外力作用下，梁的轴线在纵向对称面内弯曲成为一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。分析弯曲构件时要进行三方面的简化：一是构件的简化，二是载荷的简化，三是支座的简化。工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束4.3剪力和弯矩梁弯曲时横截面上一般存在两个内力分量，其中力Q称为剪力，力偶矩M称为弯矩。它们的大小，方向或转向可根据截面法确定。aPRMMaPRMPRQQPRYAAAA110110000::符号规定左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束解：（1）首先取整个梁为研究对象，画受力分析图，由平衡方程求出梁的支座反力为：kN75.3kN25.6BARR（2）用截面法求内力在用截面n-n截取左段梁为研究对象，并设截面上剪力Q的方向和弯矩M的转向均为正，如图4-10b所示。由平衡方程：mkN58.025.68.008.0,0MkN25.60,00AAAARMMRRQQRY工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束•规律（所取部分的全部外力向截面形心简化的主矢Q、主矩M）横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧或右侧梁上外力的代数和，符号按材力规定确定。横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上外力对该截面形心的力矩的代数和，符号按材力规定确定。例如，运用这一方法再来求解4—1时，如欲取截面右侧的一段梁为研究对象，只须假想一张纸将左段梁盖住，将右段梁的外力按内力符号规定向截面形心简化就可写出mkN57.0102.3kN25.675.310BBRMRPQ工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束4.4剪力图和弯矩图梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的，其变化规律，可以用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数，即：MMQQ这两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程。平行于梁轴线的横坐标x，表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束解：（1）列剪力方程和弯矩方程由平衡方程PxMMPxMPQPQY得由得00000,,（2）画剪力图和弯矩图从上知道，剪力Q不随截面位置而变。在OxM坐标中可由两点确定：在x=0处，M=0；在ｘ＝ｌ处,M=-pl.由此可作出梁的弯矩图如图4-12所示.由于各截面上的弯矩皆为负值,故画在横坐标下面.由图可见,绝对值最大的弯矩位于B端,其绝对值为PlMmax工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束内力与外力的相依关系某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；内力与外力关系工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。内力与外力关系结论工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束解:(1)求支座反力qlRRBA21(2)列剪力方程和弯矩方程列平衡方程：2022202,020,0xqxqlxqxxRMMxqxxRMqxqlqxRQQqxRYAAAA得得工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束(3)画剪力图和弯矩图由剪力方程可知剪力图为一直线,且在x=0处,Q=ql/2,x=l处,Q=-ql/2.由此可画出梁的剪力图如图4-13c所示.由弯矩方程可知弯矩图为一抛物线,在x=0和x=l处,M=0;在x=l/2处,M=ql2/8.再适当确定几点后可作弯矩图如图4-13d所示.2maxqlQ在梁的中点截面上,剪力Q=0,弯矩最大,其值为:82maxqlM由剪力图及弯矩图可见,在靠近两支座的横截面上剪力的绝对值最大,为工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束（1）建立FQ-x、M-x坐标系；（2）确定控制面及其上之FQ、M值，并标在FQ-x、M-x坐标中；（3）应用微分方程，确定控制面之间的FQ、M图形。绘制FQ、M图的方法工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束例4-4图4-14a所示为一简支梁，在C点受集中力P的作用，作此梁的剪力图和弯矩图。解:(1)求支座反力以整个梁为研究对象,由平衡方程0,0AMY可求得:lPaRlPbRBA,(2)列剪力方程和弯矩方程在此题中,由于C处有集中力P作用,故AC和CB两段梁的剪力方程和弯矩方程不同,必须分别列出.AC段:在距A端x处取一横截面,其左侧梁上的外力只有RA,方向向上,按左上右下的规则知,由它引起的剪力为正值,故可列出方程为lPbRQA1(0xa)(a)RA对截面形心之矩为RAx,顺时针方向,按左顺右逆的规则知，由它引起的弯矩为正值，故可列出弯矩方程为：工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束CB段：在CB段内距A端x处取一横截面，其上的剪力为截面左侧梁上的外力RA和P的代数和，按左上右下的规则，RA取正值，P取负值，故得剪力方程为：xlPbxRMA1)(ax0lPaPlPbPRQA2)(lxa横截面上的弯矩为截面左侧梁上外力RA和P对截面形心之矩的代数和，并按左顺右逆的规则可列出弯矩方程)()()(xllPbaxPxlPbaxPxRMA2)(lxa集中力使剪力图突变集中力使弯矩图折曲(3)画剪力图和弯矩图工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束在机械传动中，常常使用斜齿轮和锥齿轮。作用在斜齿轮和锥齿轮上的啮合力，可分解为径向力Pr、切向力Pt和轴向力Pa（图4-15a）。现在分析其中的轴向力Pa对轴的作用（图4-15b）。将力Pa平移到轴线上。可简化为一个矩为M0=Par的力偶和一个轴向推力Pa（图4-15c），式中r为轴向力Pa与轴线之间的距离。轴向推力使轴产生压缩，力偶则使轴产生弯曲。工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束解：（1）求支座反力设支座反力RA和RB皆向上，由平衡方程lMRMlRMlMRlRMMAABBBA00000,00,0得由得（2）列剪力方程和弯矩方程在集中力偶作用处将梁分为AC和CB两段，分别在两段内取截面，列梁的剪力方程和弯矩方程。xlMxRMlMRQACAA0101:段)0(ax)0(ax工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束000202:MxlMMxRMlMRQCBAA段)(lxa)(lxa（3）画剪力图和弯矩图由两段的剪力方程可知，AC段和CB段各横截面上的剪力相同，两段的剪力图为同一水平线；由两段的弯矩方程可知，两段梁的弯矩图为倾斜直线。可作出梁的剪力图和弯矩图如图4-16（b）、（c）所示。由图可见，全梁各横截面上的剪力均为M0/l；在ab的情况下，绝对值最大弯矩在C点稍右的截面上，其值为lbMM0max集中力偶使弯矩图突变集中力偶不使剪力图变化工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束解：（1）求支座反力设RA、RB方向向上，由平衡方程2,20000PlMRPlMRMMBAAB可得和由（2）求弯矩方程分别在AC，CB两段内取截面，由截面左侧梁上的外力，可得：xPxlMxRMACA2:01段工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束)(222)2(:002xlPxlMPlPxxPxlMlxPxRMCBA段（3）画弯矩图由上式可知，两段梁的弯矩图为倾斜直线。确定直线端点的坐标后，作出梁的弯矩图如图4-17b所示。绝对值最大的弯矩可能在梁的中点或B端的截面上，视P，M0的具体数值而定。集中力偶使弯矩图突变集中力使弯矩图折曲工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束思考题工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束规律：(1)在梁上没有分布载荷的地方，剪力图为一水平线；弯矩图为一直线，且一般为一倾斜直线。(2)在有均布载荷的一段梁内，剪力图为倾斜直线；弯矩图则为一抛物线。(3)在集中力作用处，剪力图有突变，突变之值即为该处集中力之大小，弯矩图在此则为一折角。(4)在集中力偶作用处，剪力图没有变化；弯矩图则有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。集中力偶使弯矩图突变集中力偶不使剪力图变化工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束4.5剪力.弯矩和分布载荷集度间的关系020000dMMdxqdxQdxMMdQQqdxQY::qxdMdQdxdMqdxdQ22工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束微分关系说明：剪力图中曲线上某点的斜率等于梁上对应处的载荷集度；弯矩图中曲线上某点的斜率等于梁在对应截面上的剪力。载荷集度、剪力图和弯矩图三者之间的一些关系：常遇到的情况：(1)在梁上某一段内q=0时，Q为常数，M为x的一次函数。（计算特殊点按x顺序连直线）(2)在梁上某一段内q=常数时，Q为x的一次函数，M为x的二次函数（附加中间的特殊点值，用三点连抛物线）。(3)若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线。此时弯矩图曲线的斜率在逐渐减小，为一条凸形曲线。(4）集中力使剪力图跳变，集中力偶使弯矩图跳变。（跳变点左右值要分别计算）qxdMdQdxdMqdxdQ22工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束解：（1）求支坐反力取全梁为研究对象，由平衡方程kN351512000,-YkN151220412024022,0002BABABBARqaRRRqaaMqaRaRMqaM(2)画剪力图（i）分段,初步确定剪力图形状根据梁上载荷情况,将梁分为CA、AD、DB三段。CA段有均布载荷,剪力图为一倾斜直线,AD和DB段为同一条水平线.在A处剪力有突变,其突变之值即为该处支座反力的大小;在集中力偶作用的D处,剪力无变化.工程实例剪力和弯矩剪力图弯矩图叠加法M,Q,q关系小结返回上页结束(ii)求特殊截面上的剪力为画出CA段梁的剪力图,须确定C处横截面和A稍左处横截面上的剪力;因AD和DB段的剪力图为同一条水平线,则只须确定AB段内任一截面的剪力值即可.根据各横截面一侧(左侧或右侧)梁上的外力,可得:kN15kN201200BBAAcRQQqaQQ右左(iii)作图将各特殊截面的剪力值标于坐标上,以直线连接,即可得全梁的剪力图如图4-21所示.由图可见,在A稍左处横截面上剪力的绝对值最大,其值为kN20maxQ(3)画弯矩图(i)分段,初步确定弯矩图形状仍将全梁分为CA、AD、DB三段。CA段有